数学IA(図形問題)

質問

マーク形式のものです。
すいませんが至急よろしくお願いします。

　AB=4,AC=2,∠CAB=120°の三角形ABCがある。
∠ABCと∠ACBの外角の２等分線の交点をIとする。
また、Iから直線AB、BC、ACに垂線を引き、
交点を順にD,E,Fとする。

　このとき、BC=ア√イ
であり
　　　　BE=√ウ-エ、EC=√オ+カ
である。また、∠DAI=キク°であるから
　　　　FI=ケ√コ+√(サシ)、
　　　　AI=ス+セ√ソ
である。そして、∠BIC=タチ°であるから、
△BICの外接円の半径は　ツ√テ　である。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞　AB=4,AC=2,∠CAB=120°の三角形ABCがある。
＞ ∠ABCと∠ACBの外角の２等分線の交点をIとする。
＞ また、Iから直線AB、BC、ACに垂線を引き、
＞ 交点を順にD,E,Fとする。
まず、図をかいてみてください。ABを底辺にもってくると、交点Iはやや右よりの上にあります。 　

＞ 　このとき、BC=ア√イ
＞ であり
△ABCで、余弦定理より、
BC^2＝AB^2＋AC^2－2・AB・AC・cos120°
＝4^2＋2^2－2・4・2・(-1/2)
＝16＋4＋8
＝28より、BC＝2√7　……アイ

＞ 　　　　BE=√ウ-エ、EC=√オ+カ
△IBDと△IBEとで、
∠IDB＝∠IEB＝90°（ID⊥AB，IE⊥BC）
IB＝IB（共通）
∠IBD＝∠IBE（IBは∠ABCの外角の二等分線だから）
よって、直角三角形の斜辺と１つの鋭角が等しいから、
△IBD≡△IBE
これから、ID＝IE，BD＝BE　……(1)

△IECと△IFCとで、
∠IEC＝∠IFC＝90°（IE⊥BC，IF⊥AC）
IC＝IC（共通）
∠ICE＝∠ICF（ICは∠ACBの外角の二等分線だから）
よって、直角三角形の斜辺と１つの鋭角が等しいから、
△IEC≡△IFC
これから、IE＝IF，EC＝FC　……(2)
(1)(2)より、
BD＝BE＝ｘ，EC＝FC＝ｙ，ID＝IE＝IF＝ｚとおく。
BC＝BE＋ECより、ｘ＋ｙ＝2√7　……(3)
△IADで、∠IDA＝90°より直角三角形だから、
AI^2＝ID^2＋AD^2で、AD＝AB＋BD＝4＋ｘより、
AI^2＝ｚ^2＋(4＋ｘ)^2　……(4)
△IAFで、同様に
AI^2＝IF^2＋AF^2で、AF＝AC＋CF＝2＋ｙより、
AI^2＝ｚ^2＋(2＋ｙ)^2　……(5)
(4)(5)より、(4＋ｘ)^2＝(2＋ｙ)^2　……(6)
(3)(6)より、連立で解くと、ｘ＝√7－1，ｙ＝√7＋1
よって、BE＝√7－1　……ウエ，EC＝√7＋1　……オカ

＞ である。また、∠DAI=キク°であるから
△IADと△IAFとで、
ID＝IF（(1)(2)より）
AD＝4＋ｘ＝4＋(√7－1)＝3＋√7
AF＝2＋ｙ＝2＋(√7＋1)＝3＋√7
より、AD＝AF
∠IDA＝∠IFA＝90°（ID⊥AB，IF⊥AC）
よって、２辺とその挟む角が等しいから、
△IAD≡△IAF
これから、∠DAI＝∠FAI
また、∠CAB＝∠DAI＋∠FAI＝120°だから、
よって、∠DAI＝60°……キク

＞ 　　　　FI=ケ√コ+√(サシ)、
＞ 　　　　AI=ス+セ√ソ
△IADで、
∠AID＝180°－∠DAI－∠IDA＝180°－60°－90°＝30°……(7)
正弦定理より、
AD/sin∠AID＝DI/sin∠DAIより、(3＋√7)/sin30°＝DI/sin60°
(1/2)DI＝(√3/2)・(3＋√7)より、DI＝3√3＋√21　
FI＝DIより、
よって、FI＝3√3＋√21　……ケコサシ

AD/sin∠AID＝AI/sin∠IDAより、(3＋√7)/sin30°＝AI/sin90°
(1/2)AI＝1・(3＋√7)より、
よって、AI＝6＋2√7　……スセソ

＞ である。そして、∠BIC=タチ°であるから、
△IAD≡△IAFだから、(7)より、
∠AID＝∠AIF＝30°
よって、∠DIF＝∠AID＋∠AIF＝60°
IBは∠ABCの外角の、ICは∠ACBの外角の二等分線だから
∠IBD＝∠IBE＝α，∠ICE＝∠ICF＝βとおく。
四角形IDBEで、∠IDB＝∠IEB＝90°だから、
∠DIE＝360°－90°×2－∠IBD－∠IBE＝180°－2α
四角形IFCEで、∠IEC＝∠IFC＝90°だから、
∠FIE＝360°－90°×2－∠ICE－∠ICF＝180°－2β
∠DIF＝∠DIE＋∠FIEより、
(180°－2α)＋（180°－2β)＝60°
2(α＋β)＝300°
よって、α＋β＝150°
△IBCで、
∠BIC＝180°－∠IBC－∠ICB
＝180°－(∠IBE＋∠ICE)
＝180°－(α＋β)
＝180°－150°
＝30°……タチ

＞ △BICの外接円の半径は　ツ√テ　である。
正弦定理より、
BC/sin∠BIC＝2R（Rは外接円の半径）だから、2√7/sin30°＝2R
(1/2)・2R＝2√7
よって、R＝2√7　……ツテ

説明を書くと、こんなに長くなりますが、図で確認したほうがわかりやすいと思います。
合同な直角三角形を見つけてください。

お礼

ていねいでわかりやすいです！
ありがとうございました