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数学IA(図形問題)

マーク形式のものです。 すいませんが至急よろしくお願いします。  AB=4,AC=2,∠CAB=120°の三角形ABCがある。 ∠ABCと∠ACBの外角の2等分線の交点をIとする。 また、Iから直線AB、BC、ACに垂線を引き、 交点を順にD,E,Fとする。    このとき、BC=ア√イ であり     BE=√ウ-エ、EC=√オ+カ である。また、∠DAI=キク°であるから     FI=ケ√コ+√(サシ)、     AI=ス+セ√ソ である。そして、∠BIC=タチ°であるから、 △BICの外接円の半径は ツ√テ である。

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回答No.1

> AB=4,AC=2,∠CAB=120°の三角形ABCがある。 > ∠ABCと∠ACBの外角の2等分線の交点をIとする。 > また、Iから直線AB、BC、ACに垂線を引き、 > 交点を順にD,E,Fとする。 まず、図をかいてみてください。ABを底辺にもってくると、交点Iはやや右よりの上にあります。   >  このとき、BC=ア√イ > であり △ABCで、余弦定理より、 BC^2=AB^2+AC^2-2・AB・AC・cos120° =4^2+2^2-2・4・2・(-1/2) =16+4+8 =28より、BC=2√7 ……アイ >     BE=√ウ-エ、EC=√オ+カ △IBDと△IBEとで、 ∠IDB=∠IEB=90°(ID⊥AB,IE⊥BC) IB=IB(共通) ∠IBD=∠IBE(IBは∠ABCの外角の二等分線だから) よって、直角三角形の斜辺と1つの鋭角が等しいから、 △IBD≡△IBE これから、ID=IE,BD=BE ……(1) △IECと△IFCとで、 ∠IEC=∠IFC=90°(IE⊥BC,IF⊥AC) IC=IC(共通) ∠ICE=∠ICF(ICは∠ACBの外角の二等分線だから) よって、直角三角形の斜辺と1つの鋭角が等しいから、 △IEC≡△IFC これから、IE=IF,EC=FC ……(2) (1)(2)より、 BD=BE=x,EC=FC=y,ID=IE=IF=zとおく。 BC=BE+ECより、x+y=2√7 ……(3) △IADで、∠IDA=90°より直角三角形だから、 AI^2=ID^2+AD^2で、AD=AB+BD=4+xより、 AI^2=z^2+(4+x)^2 ……(4) △IAFで、同様に AI^2=IF^2+AF^2で、AF=AC+CF=2+yより、 AI^2=z^2+(2+y)^2 ……(5) (4)(5)より、(4+x)^2=(2+y)^2 ……(6) (3)(6)より、連立で解くと、x=√7-1,y=√7+1 よって、BE=√7-1 ……ウエ,EC=√7+1 ……オカ > である。また、∠DAI=キク°であるから △IADと△IAFとで、 ID=IF((1)(2)より) AD=4+x=4+(√7-1)=3+√7 AF=2+y=2+(√7+1)=3+√7 より、AD=AF ∠IDA=∠IFA=90°(ID⊥AB,IF⊥AC) よって、2辺とその挟む角が等しいから、 △IAD≡△IAF これから、∠DAI=∠FAI また、∠CAB=∠DAI+∠FAI=120°だから、 よって、∠DAI=60°……キク >     FI=ケ√コ+√(サシ)、 >     AI=ス+セ√ソ △IADで、 ∠AID=180°-∠DAI-∠IDA=180°-60°-90°=30°……(7) 正弦定理より、 AD/sin∠AID=DI/sin∠DAIより、(3+√7)/sin30°=DI/sin60° (1/2)DI=(√3/2)・(3+√7)より、DI=3√3+√21  FI=DIより、 よって、FI=3√3+√21 ……ケコサシ AD/sin∠AID=AI/sin∠IDAより、(3+√7)/sin30°=AI/sin90° (1/2)AI=1・(3+√7)より、 よって、AI=6+2√7 ……スセソ > である。そして、∠BIC=タチ°であるから、 △IAD≡△IAFだから、(7)より、 ∠AID=∠AIF=30° よって、∠DIF=∠AID+∠AIF=60° IBは∠ABCの外角の、ICは∠ACBの外角の二等分線だから ∠IBD=∠IBE=α,∠ICE=∠ICF=βとおく。 四角形IDBEで、∠IDB=∠IEB=90°だから、 ∠DIE=360°-90°×2-∠IBD-∠IBE=180°-2α 四角形IFCEで、∠IEC=∠IFC=90°だから、 ∠FIE=360°-90°×2-∠ICE-∠ICF=180°-2β ∠DIF=∠DIE+∠FIEより、 (180°-2α)+(180°-2β)=60° 2(α+β)=300° よって、α+β=150° △IBCで、 ∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB =180°-(∠IBE+∠ICE) =180°-(α+β) =180°-150° =30°……タチ > △BICの外接円の半径は ツ√テ である。 正弦定理より、 BC/sin∠BIC=2R(Rは外接円の半径)だから、2√7/sin30°=2R (1/2)・2R=2√7 よって、R=2√7 ……ツテ 説明を書くと、こんなに長くなりますが、図で確認したほうがわかりやすいと思います。 合同な直角三角形を見つけてください。

utg87479
質問者

お礼

ていねいでわかりやすいです! ありがとうございました

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