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ベクトルの問題で分らないのがあるので教えてください
※AP→は「APベクトル」という意味です。 △ABCの内部に点Pがあり、3AP→+2BP→+CP→=0→を満たしています。 (1)APの延長とBCの交点をDとするとき、BD:DC、AP:PDを求めてください。(途中式もお願いします。) (2)面積の比△ABP:△BCP:△CAPを求めてください。 (途中式もお願いします。) ちなみに答えは、 (1)BD:DC=1:2、AP:PD=1:1 (2)1:3:2 です。
- gyurigyuri
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>△ABCの内部に点Pがあり、3AP→+2BP→+CP→=0→を満たしています。 >(1)APの延長とBCの交点をDとするとき、BD:DC、AP:PDを求めてください。 3AP→+2BP→+CP→=0より、 3AP+2(AP-AB)+(AP-AC)=0 6AP=2AB+AC AP=(1/3)AB+(1/6)AC ……(1) BD:DC=t:1-tとすると、 AD=(1-t)AB+tAC A,P,Dは一直線上にあるから、AP=kADとおける。 AP=(1-t)kAB+tkAC ……(2) (1)(2)を係数比較すると、 (1-t)k=1/3,tk=1/6 より、k=1/2,t=1/3 よって、BD:DC=1/3:2/3=1:2 AP=(1/2)ADより、AP:AD=1:2だから、AP:PD=1:1 >(2)面積の比△ABP:△BCP:△CAPを求めてください。 (途中式もお願いします。) △ABDと△ABCで、Aを頂点とみると高さが同じだから、面積比=底辺の比 △ABD:△ABC=BD:BC=1:3より、△ABD=(1/3)△ABC △ABPと△ANDで、Bを頂点と見ると、 △ABP:△ABD=AP:AD=1:2より、 △ABP=(1/2)△ABD=(1/2)×(1/3)△ABC=(1/6)△ABC △ACDと△ABCで、 △ACD:△ABC=CD:BC=2:3より、△ACD=(2/3)△ABC △ACDと△CAPで、Cを頂点と見ると、 △ACDと△CAP=AP:AD=1:2より、 △CAP=(1/2)△ACD=(1/2)×(2/3)△ABC=(1/3)△ABC △BCP=△ABC-△ABP-△CAP =(1-1/6-1/3)△ABC =(1/2)△ABC よって、△ABP:△BCP:△CAP=1/6:1/2:1/3=1:3:2 図を描いて考えて下さい。
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- Tacosan
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ちょっとくらい自分の頭で考えてもばちは当たらないと思うよ.
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