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数学II・B ベクトルの問題

△ABCの内部に4→AP+2→BP+3→CP=→0を満たす点Pがある。APを延長した直線とBCとの交点をDとするとき、比較BD:DCを求めよ。 この問題の解き方が途中からわかりません。 →ADをk→APとおいてk=9/5というのは出たのですが その後の比を出すやり方がわかりません。 どなたか教えていただきたいです。 ちなみに答えではBD:DC=3:2となっています。

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  • 178-tall
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回答No.4

>→ADをk→APとおいてk=9/5というのは出たのですが…   ↓ ベクトル表記の → を省略  AP= AD/k  …(1) また、  BD = h*BC とすると?   ↓  BP = AP - AB  CP = AP - AC なので、これを 4*AP + 2*BP +3*CP = 0 へ代入すると、  AP = (3*AC + 2*AB)/9  …(2) また (1) にて、  AP = AD/k = (AB + h*BC)/k = { AB + h*(AC-AB) }/k  = { (1-h)AB + h*AC }/k  …(3) (2), (3) は相等しく、AB と AC が平行でなけりゃ AB と AC の係数はそれぞれ等しいはず。 つまり、  2/9 = (1-h)/k  3/9 = h/k だから、  5/9 = 1/k → k = 9/5  h = k/3 = 3/5   

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回答No.3

3行目で+と-を間違えましたので以下のように訂正します。 4→AP+2→BP+3→CP=→0について、ベクトルの始点をAにそろえると (→省略させていただきます) 4AP+2(AP-AB)+3(AP-AC)=0 9AP=2AB+3AC よって AP=(2AB+3AC)/9=(5/9){(2AB+3AC)/5}・・・イ {}内は内分点の公式ですから、(2AB+3AC)/5はBCを3対2に内分する点ということになりこれが点Dです。 (つまり、(2AB+3AC)/5=AD) したがって、AP=(5/9)AD⇔AD=(9/5)AP でここからKが求められるという順序ですね! ポイントはベクトルの始点をそろえることと、 内分点の公式が使えるよう・・・イ のように(2AB+3AC)の分母を2+3=5にして元の式(2AB+3AC)/9と=で結べるように9の分子を5にしてやるところです。

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回答No.2

ベクトルの始点をAにそろえると (→省略させていただきます) 4AP+2(AP-AB)+3(AP+AC)=0 9AP=2AB+3AC よって AP=(2AB+3AC)/9=(5/9){(2AB+3AC)/5}・・・イ {}内は内分点の公式ですから、(2AB+3AC)/5はBCを3対2に内分する点ということになりこれが点Dです。 したがって、AP=(5/9)AD⇔AD=(9/5)AP でここからKが求められるという順序ですね! ポイントは内分点の公式が使えるよう・・・イ のように(2AB+3AC)の分母を2+3=5にして元の式(2AB+3AC)/9と=で結べるように9の分子を5にしてやるところです。

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noname#232123
noname#232123
回答No.1

→は省略して書きます。 (与式) ⇔ AP=(5/9)*(2*AB+3*AC)/(3+2)=(5/9)*AD ということで、 BD:DC=3:2 です。どこがわからないのでしょうか?

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