ベクトルの問題

質問

平面上に三角形ABCがある。
点Pを
　８PAベクトル＋５PBベクトル＋７PCベクトル＝０
を満たすようにとる。
直線APと直線BCの交点をMとすると
　AMベクトル＝○ABベクトル＋○ACベクトル
と表される。
三角形ABMと三角形ACMの面積の比は
　△ABM：△ACM＝○：○
で与えられる。

この問題の○の部分を答えたいのですが、わかりません。
APベクトルの直線上にAMベクトルがあると思ったので
８PAベクトル＋５PBベクトル＋７PCベクトル＝０
の式からAPベクトルをABベクトルとACベクトルを使って求めることはできたのですが、そこからAMベクトルを求めることができません。
面積については考え方もわからないので解説よろしくおねがいします。

回答No.4

kkkk2222 · ベストアンサー

平面ＶＥＣＴＯＲだけで２０ＰＡＴＴＥＲＮほどあります。コツコツと貯めて行くしかないです。本問はその中でも著名です。
　解法は著名なのが３ＰＡＴＴＥＲＮです。当方は、見渡しが利く３ＶＥＣＴＯＲ利用好みます。
　表記については、点から点への表記は＜解くにも＞＜解読＞するにも不都合でひとつの文字を使うことを薦めます。以下この表記を使用します。

8PA+5PB+7PC=Oを

点A,B,C,Pの位置ＶＥＣＴＯＲをa,b,c,pと表記。
8(a-p)+5(b-p)+7(c-p)=O
p=(1/20)(8a+5b+7c)　これは更に３通りに書けます。

(1)p=(1/20)【(1/13)［13(8a+5b)+7c］】
(2)p=(1/20)【(1/12)［12(5b+7c)+8a］】
(3)p=(1/20)【(1/15)［15(7c+8a)+5b］】

(1)は＜AとBを５：８に内分した点＞とCを７：１３に内分した点の意味
(2)は＜BとCを７：５に内分した点＞とAを８：１２に内分した点の意味
(3)は＜CとAを８：７に内分した点＞とBを５：１５に内分した点の意味

今必要なのは(2)でBCを７：５に内分した点がMで、MAを８：１２に内分した点がP
(1)(3)も同様の意味になります。よって
AMベクトル＝(5/12)ABベクトル＋(7/12)ACベクトル
△ABM：△ACM＝7：5　となります。

△ABP:△BCP:△CBP=7:8:5も出てきます。
これは最初の係数８、５、７と関係を持ちます。
また、チェバ・メネラウスとの関係もあります。
知っていて損のない問題です。
ーーー

お礼

そういう解き方もあるのですね。
理解することができました。
丁寧なご説明ありがとうございましたm(__)m

回答No.5

ht1914

私の好みからいうとＡ→ＰでＡＰと書く方がしっくりいきます。ａとかｂと置くのは数値計算が必要になってからです。

８ＰＡ＋５ＰＢ＋７ＰＣ＝０　（式１）
は移行して　８ＡＰ＝５ＰＢ＋７ＰＣ　です。
ベクトルが同じ方向を向きます。ＡＰ＝－ＰＡですから符号のマイナスも出てきません。
ＡＰ＋ＰＢ＝ＡＢ、ＡＰ＋ＰＣ＝ＡＣ　も図からすぐに分かります。そこから
（８＋５＋７）ＡＰ＝５（ＰＢ＋ＡＰ）＋７（ＰＣ＋ＡＰ）
２２ＡＰ＝５ＡＢ＋７ＡＣ　　（式２）
とする方向も見えてきます。
（２２／１２）ＡＰ＝（５ＡＢ＋７ＡＣ）／（５＋７）
とすると右辺はＡＢを７：５で内分する点ＮへのベクトルＡＮです。
（２２／１２）ＡＰ＝ＡＮとなります。
２つのベクトルが比例するということは同じ方向であるということです。ＡＰの延長がＡＢと交差する点をＭとするという条件からＮとＭは一致します。

元に戻って考えます。ＡＮは（式２）の右辺から求められました。これは（式１）の右辺から出てきたものです。５と７という数字が決まれば８は関係ないということが分かります。８が変わるとＰの位置がＡＮ線上で動くだけです。右辺は左辺と無関係にある量を決めているというところが分かっている方が全体を理解しやすくなると思います。

お礼

回答ありがとうございます。
理解することができました。
丁寧なご説明ありがとうございましたm(__)m

回答No.3

mmk2000

すみません、＃２です。

おっしゃるとおり、ABではなく、BCですね。

回答No.2

mmk2000

下記補足について…

＞5AB+7ACの式からABを7:5に分けるというのはどういった理由で出るのでしょうか？

これは5AB+7ACから考えるのではなく、(5AB+7AC)/（7+5）で考えます。
横に書くと分かりづらいのですが、ノートに書いてみてください。
教科書にある、内分点の公式の形になっているでしょう？

普通は公式から数値を求めたりしますが、今回は式（数値）から公式に当てはめると、内分の比がわかるということですね。

お礼

内分点の公式だったんですね。やっとわかりました。
丁寧なご説明ありがとうございましたm(__)m

回答No.1

noname#91219

8PA+5PB+7PC=0
-8AP+5(AB-AP)+7(AC-AP)=0
(-8-5-7)AP=-5AB-7AC
20AP=5AB+7AC
20/12AP=(5AB+7AC)/7+5
この左辺がＭになります。右辺はＡＢを７：５に分けるという意味ですから、ＭはＡＢを７：５に分ける点です。
ＡＭを12/20倍すればＰに成ります。つまりＰは△ＡＢＣの内部にあります。計算ミスがなければあってると思います。ご参考までに・・・

補足

20AP=5AB+7ACまでは何とか出せたのですが
次の20/12AP=(5AB+7AC)/7+5がよくわかりません(--；)
＞右辺はＡＢを７：５に分けるという意味ですから、ＭはＡＢを７：５に分ける点です。
直線APと直線BCの交点がMなので、MはBCを分ける点だと思ったのですが…。
5AB+7ACの式からABを7:5に分けるというのはどういった理由で出るのでしょうか？
また時間に余裕がありましたら是非教えてくださると嬉しいです。
ありがとうございました。