十分であることの証明

質問

P ⇔ Qを証明の仕方は、大きく分けて
1,Pを同値変形してQを導く
2,P ⇒ QとQ ⇒ Pをばらばらに証明する
の二通りだと思いますが、2の証明の仕方で分からない場合があります。

例えば角の２等分線の性質
三角形ABCに関して、辺BC上の点Pに対し、
「APが角Aを２等分する⇔BP : PC = AB : AC」
の十分性「BP : PC = AB : AC⇒APが角Aを二等分する」を証明は、
「APが角Aを２等分する⇒BP : PC = AB : AC」が示せたとして

BC上に点Pに対しBP : PC = AB : ACが成り立つとする。
角Aの２等分線と辺BCとの交点をP'として
BP' : P'C = AB : AC　(P ⇒ Qを使っている)
が成り立つから、
BP : PC = BP' : P'C
よって、P'=Pで、APが角Aを２等分するが成り立つ。

ですが、途中でP ⇒ Qを使っているところが疑問です。
Q ⇒ Pを証明するときにP ⇒ Qを使って良いのでしょうか？

回答No.1

zux · ベストアンサー

いいですよ

それぞれ別の命題ですから

P⇒Qはもう示したのだから
Q⇒Pのなかで使えます

ただし
P⇒QのなかでQ⇒Pを使い
Q⇒PのなかでもP⇒Qを使うのはだめです
循環論法になります

疑問の原因はたぶん
ここにあるんじゃないでしょうか

お礼

回答有難うございます。
理解出来ました。