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二等分線であることの証明

△ABCの辺BC上の点Pについて、BP:PC=AB:ACが成り立つならばAPは∠Aの二等分線である。・・・(*) 四角形ABCDの2つの内角∠A、∠Cの二等分線の交点が、対角線BD上にあるならば、2つの内角∠B、∠Dの二等分線の交点も、対角線AC上にあることを、(*)を使って証明せよ。 (解答) ∠A、∠Cの二等分線の交点をE、∠Bの二等分線とACの交点をFとする。AE、CEはそれぞれ∠A、∠Cの二等分線であるから、△ABDにおいて BE:ED=AB:AD △BCDにおいてBE:ED=BC:CD よってAB:AD=BC:CDから AB・CD=AD・BC これから 【AB:BC=AD:CD】・・・(1) BFは∠Bの二等分線であるから、△ABCにおいて AF:CF=AB:BC・・・(2) (1)、(2)から AF:CF=AD:CD したがって、(*)からFDは∠Dの二等分線である。ゆえに、題意は示された。 質問は、【 】でくくった部分です。 なぜ、そのような式ができたのか理由を教えてください。 よろしくお願いします。

noname#175852
noname#175852

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noname#125931
noname#125931

AB:AD=BC:CDはAB/AD=BC/CDという意味です。 両辺にAD/BCを掛けるとAB/BC=AD/CDを得ます。 これはAB:BC=AD:CDという意味です。

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  • f272
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AB:BC=AD:CDとAB/BC=AD/CDとは全く同じ意味です。 一行前にあるAB・CD=AD・BCの両辺をBC・CDで割れば出てきますね。

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