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角の二等分線の定理(内角)の証明について・・・

角の二等分線の定理(内角)の証明についての質問です。 <問題> ⊿ABCにおいて、∠BACの二等分線と線分BCとの交点をDとするとき、AB:AC=BD:DCが成り立つことを証明しなさい。 という問題で、証明が11種類あるらしいのですが、まったくわかりません・・・ わかるかたがいたら教えてください。

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一番楽なのは、三角形の面積を利用する証明法かな。 三角関数を使ってよければ、 △ABDの面積S1 = (AD・ABsin∠DAB)/2 △ACDの面積S2 = (AD・ACsin∠DAC)/2 なので、 S1:S2 = AB:AC   ・・・(1)   (∵∠DAB=∠DAC) で、底辺BCに注目すると、高さを仮にhとすると、 S1 = BD・h/2 S2 = DC・h/2 なので、 S1:S2 = BD:DC   ・・・(2) (1)と(2)より、 AB:AC = BD:DC 三角関数を使ってはダメというのならば、 Dをとおり、ACに平行な直線を引き、ABとの交点をEとする。 △AEDはAE=EDの二等辺三角形 (∵EDとACは平行なので、∠ADB = ∠DAC ・・・錯角を利用 ∠BDA = ∠DAC = ∠ADB  ∵∠BDAと∠DACは∠BACの二等分角だから) EDとACは平行だから、 BE/AE = BD/DC    ・・・(3) BE/AB = ED/AC = AE/AC  (∵AE=ED) BE = AB・AE/ACなので、 これを、(3)に代入すると、 AB/AC = BD/DC よって、 AB:AC = BD:DC 図を書くのが面倒くさいので全て頭の中でやっているから、どっか間違っているかもしれないけれど、こんな感じに証明できます。

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質問者からのお礼

細かく書いていただいてありがとうございました。 三角関数を使ってはいけなっかたので助かりました。

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Googleで「角の二等分線の定理」+「証明」をキーワードにして検索すれば色々な証明法が見つかる! (参考URL) ttp://www.google.co.jp/#hl=ja&sclient=psy-ab&q=角の二等分線の定理+証明&oq=角の二等分線の定理&gs_l=hp.1.2.0l2j0i30l2.0.0.1.6960.0.0.0.0.0.0.0.0..0.0...0.0...1c..11.psy-ab.f4Mg1fvz5Pw&pbx=1&bav=on.2,or.r_qf.&bvm=bv.45645796,d.dGI&fp=a8ebca95d9bd5d27&biw=984&bih=613 複数の証明が載ってるから見てごらん。 1] ttp://izumi-math.jp/F_Nakamura/toubun/toubun.pdf 2] ttp://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/angle.htm 3] ttp://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math2/hojyosen1.htm 4] ttp://izumi-math.jp/F_Nakamura/toubun/toubun.pdf (頭にhを付けてサイトを参照下さい)

参考URL:
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math2/hojyosen1.htm

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質問者からのお礼

URLまではっていただいて・・・ ありがとうございました。

  • 回答No.1

図形はどちらかと言うと苦手かな? 代数学の元非常勤。 えっと、図を描くこと! これに尽きるよ。 多分三つの角は全て等しい 相似が取れないかな? ⊿ABD∽⊿ACDについて。 ←これちょっと順番なんか自信はないけれど。 (=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=) >わかるかたがいたら教えてください。 これは必要ないね。わからない人は回答しないのだから。 11種類もあるんだろうか?? 一つ自分で分かっていれば充分だよ?

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質問者からのお礼

元先生ですか! すごいですね!あこがれます(*^。^*) ご回答ありがとうございました。

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