定理の証明

質問

三角形ＡＢＣの角Ａの二等分線と辺ＢＣとの交点Ｐは辺ＢＣをＡＢ：ＡＣに内分する
という定理がありますが、
これを三角形の面積の公式を利用して証明する方法を教えてください。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞三角形ＡＢＣの角Ａの二等分線と辺ＢＣとの交点Ｐは辺ＢＣをＡＢ：ＡＣに内分する
＞という定理がありますが、
＞これを三角形の面積の公式を利用して証明する方法
頂点をＡと見ると、高さが同じだから、面積比は底辺の比になるから、
△ＡＢＰ：△ＡＣＰ＝ＢＰ：ＰＣ　……（１）
∠ＢＡＰ＝∠ＣＡＰ＝∠Ａ／２とおくと、面積の公式より、
△ＡＢＰ＝(1/2)・ＡＢ・ＡＰ・sin（∠Ａ／２）
△ＡＣＰ＝(1/2)・ＡＣ・ＡＰ・sin（∠Ａ／２）だから、
△ＡＢＰ：△ＡＣＰ＝ＡＢ：ＡＣ　……（２）
よって、（１）（２）より、
ＡＢ：ＡＣ＝ＢＰ：ＰＣ

でどうでしょうか？