チェバの定理

質問

こんばんは。
いつもお世話になっております。
よろしくお願いいたします。

AB:AC=2:1である△ABCにおいて、∠Aの二等分線と辺BCとの交点D、辺CAを1:2に内分する点をEとする。
ADとBEの交点をPとするとき、直線CPは辺ABの中点を通ることを証明せよ。という問題で質問があります。（図が表示できずすみません・・）

なぜ、ADは∠Aの二等分線であるとBD/DC=AB/AC=2/1
になるのでしょうか。
なぜなるのかと、この式があらわしている意味がわかりません。。

いつも本当にすみません。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

debut

＞なぜ、ADは∠Aの二等分線であるとBD/DC=AB/AC=2/1

例えば、ＢＡをＡの方向に延長した線と、Ｃ を通りＡＤに平行な
直線との交点をＦとすれば、平行線の同位角で∠Ｆ＝∠ＢＡＤ、
錯角から∠ＡＣ Ｆ＝∠Ｃ ＡＤとなるので、△ＡＣ ＦはＡＣ ＝ＡＦ
の二等辺三角形になります。
また、△ＢＡＤ∽△ＢＦＣ となるから、ＢＡ：ＡＦ＝ＢＤ：ＤＣ、
つまり、ＢＡ：ＡＣ ＝ＢＤ：ＤＣ となります。
よって、ＢＤ/ＤＣ ＝ＡＢ/ＡＣ ＝２/１です。。

結構大切な性質なので覚えておいた方がいいと思います。