チェバの定理の応用の仕方がわかりません…

質問

△ABCの辺ABを３：２に内分する点をD、辺ACを４：３に内分する点をEとし、
BEとCDの交点をOとする。AOとBC、DEの交点をそれぞれF、Gとするとき、比 （１）BF：FC　（２）DG:GE　をもとめよ。

という問題。
（１）はそのままチェバの定理の公式に当てはめていくことはできるのですが、（２）を解くことができませんん…

参考書の解答では
△ADEにおいて、チェバの定理により、
（DG/GE）（EC/CA)（AB/BD)＝１

…とすすめられていくのですが
＞（DG/GE）（EC/CA)（AB/BD)＝１　はどうして？と感じてしまします。

よくわかりません。
どなたか教えていただけませんでしょうか。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>△ADEにおいて、チェバの定理により、
>（DG/GE）（EC/CA)（AB/BD)＝１

>…とすすめられていくのですが
>（DG/GE）（EC/CA)（AB/BD)＝１　はどうして？と感じてしまします。
こればチェバの定理（拡張形）です。習っていませんか？

ひょっとして
チェバの定理に基本形と拡張形があることを見落として見えませんか？
(1)は基本形を適用する場合で
(2)の場合は拡張形を適用する場合です。

拡張形を習ってこなかったのか、見落としてこられたから、上のことが理解できないのでしょう。

チェバの定理（基本形）は3頂点A,B,Cを通る3直線が△ABCの内部の一点で交わる場合の定理であり、
チェバの定理（拡張形）は3頂点A,B,Cを通る3直線が△ABCの外部の一点で交わる場合（交点の位置により拡張形には2通りの場合がある）の定理です。

基本形（単にチェバの定理ということもある）と拡張形については
参考URLに、基本形と拡張形のチェバの定理の両方について証明付きで、載っています。

(2)の場合は拡張形のチェバの定理を適用する場合ですので、参考URLの証明1の方が該当します。
拡張形には交点の位置により証明2にある場合もありますので、
この際、チェバの定理の拡張形について、しっかり、覚えるようにして下さい。

参考URL：

http://yosshy.sansu.org/theorem/ceva_mene.htm

お礼

回答ありがとうございます。

拡張をすることができませんでした。

URLとても参考になりました。。
もっと勉強します。

ありがとうございます。

補足

ありがとうございます。

回答No.1

f272

点Oと三角形ABCにおいて，直線AOとBC，BOとCA，COとABの交点をそれぞれF，E，Dとしたとき，
(AD/DB)*(BF/FC)*(CE/EA)=1

点Oと三角形ADEにおいて，直線AOとDE，DOとEA，EOとADの交点をそれぞれG，C，Bとしたとき，
(AB/BD)*(DG/GE)*(EC/CA)=1

点の名前が異なっているだけで，全く同じ形の式ですが...

お礼

ありがとうございます。
解答していただけてうれしいです。
もっと勉強します。

ありがとうございます。
参考になりました。

補足

ありがとうございます。