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数学の証明

辺ABと直線との交点をE、辺CDと直線との交点をQとする。 四角形ABCDの対角線AC、BDが点Pで直交するとき、 円周角∠APD = ∠DPC = ∠CPB = ∠BPA = 90°(1) 弧AB = 弧BC = 弧CD = 弧DA (2) 弦AB = 弦BC = 弦CD = 弦DA (3) 以上で四角形ABCDは正方形であると証明された。 次に点Pを通り、辺ABに垂直な直線を引く。 (1)(2)(3)より AE = BE CQ = DQ AE = CQ BE = DQ AE = DQ BE = CQ よってPを通って辺ABに垂直な直線は辺CDを2等分する。 よって証明された。 これで証明できているのかがわかりません。 教えて頂けないでしょうか。

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質問者が選んだベストアンサー

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No.1です。補足の部分。 条件が定かではないので、そこを確かめたいのですが。 まず、この問題は「円に内接している四角形」の話だと思うのですが? もしそうだとすると、「対角線が直行する」ことで その四角形は ひし形か正方形 ですので(前述のとおり)、 円に内接していることから、ひし形ではありえない。 したがって、正方形。 これで証明終わり。 (1)(2)(3)は、正方形だと説明しているだけで、必要ありません。 もう一つ、点Pは正方形の対角線の交点かつ円の中心ですので、 もしも証明するのなら、⊿APE≡⊿BPE について証明したほうシンプルでしょうね。 あるいは前述のとおり、対称性を使うかですが、ちょっと見えにくいかな? (=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)

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質問者からのお礼

即時回答して頂きありがとうございました。 分かりやすく解説して頂き、本当に助かりました!!

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その他の回答 (5)

  • 回答No.5
  • shuu_01
  • ベストアンサー率55% (760/1366)

あ、また僕の証明に間違いありました △ ABP、△BCP、△CDP、△DPA いずれも頂点 P が円の中心 にあり、その対辺は等しく、 AB=BC=CD=DA である (1)               ↓ △ ABP、△BCP、△CDP、△DPA いずれも頂点 P が円の中心 にあり直角、2辺が半径に等しい、直角二等辺三角形なので、 直角のその対辺も等しく、 AB=BC=CD=DA である (1) (ちょっと日本語おかしいですけど、通じることは通じるかな)

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  • 回答No.4
  • shuu_01
  • ベストアンサー率55% (760/1366)

元の問題文はどんなんですか? 四角形 ABCD が正方形であることを証明しろおいう問題ですか? そうであれば、以下のように証明できます ―――――――――――――――――――――――――― △ ABP、△BCP、△CDP、△DPA いずれも頂点 P が円の中心 にあり、その対辺は等しく、 AB=BC=CD=DA である (1) △ ABP は2辺が半径の二等辺三角形なので、角 APB 以外の 残りの2つの角度は (180 - 90) / 2 = 45度 △BCP、△CDP、△DPA も同様に円の中心にある以外の 残りの2つの角度は 45度 したがって、四角形 ABCD の4つの角度はいずれも 45度 + 45度 = 90度 (2) (1)、(2) より 四角形 ABCD は正方形である ―――――――――――――――――――――――――― 9894380835 さんの証明でおかしいのは 最初に 「辺ABと直線との交点をE、辺CDと直線との交点をQとする。」 と言っていますが、直交すると言ってません (細かいですが、1つめの交点が E なら 2番目は F、  Q と言いたいなら、1つめの交点を P、2番目を Q、  円の中心は O(オー)とするのが普通です) その後、 「次に点Pを通り、辺ABに垂直な直線を引く。」 と言い、 あたかも EQ が AB に垂直なように話を進めてますが、 EQ が AB に垂直かどうかわからないので、 その後の証明は間違いとなります また、 「円周角∠APD = ∠DPC = ∠CPB = ∠BPA = 90°(1)」 と言ってますが、円周角ではなく、中心角です 言葉の使い方が間違っています もう1つ、正方形というためには、4つの角度が直角であることを 言わないといけません 4辺の長さが等しいというだけでは、単なるひし形ですので、 その議論ももう一歩足りません

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  • 回答No.3
  • bon_be
  • ベストアンサー率6% (10/165)

問題 四角形ABCDの対角線AC、BDが点Pで直交するとき、 点Pを通り、辺ABに垂直な直線を引けば、 Pを通って辺ABに垂直な直線は辺CDを2等分する ということでしょうか?

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質問者からの補足

即時回答ありがとうございます。 はい。

  • 回答No.2
  • f272
  • ベストアンサー率45% (5558/12139)

何を前提にして何を証明したいのか良くわからんが,四角形ABCDがどうしてひとつの円周上にあるんだ?そしてどうして点Pがその円の中心なんだ?

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  • 回答No.1

ハイちょっとお邪魔。 代数屋さんだけど。 遠回りしているかもね。 >四角形ABCDの対角線AC、BDが点Pで直交するとき これで、正方形かひし形 が分かるから、「円に内接している」ようなので、 ひし形はありえない。よって正方形は証明できるよ(というより明らか)。 この場合、対角線の交点と円の中心は一致するので、 対称性がいえて、弧も、弦も、等分するね。 対称性より明らかでもいいと思うよ。 (=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=) 証明できているけれど、余計なことが多すぎるかもしれない。

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質問者からの補足

即時回答して頂きありがとうございます。 余計なものが多いとのご指摘ですが、どの部分をカットすれば良いか教えて頂きませんか?

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