数学「図形の性質」

質問

∠A＝30°、∠B＝90°、BC＝1である直角三角形ABCがある。辺AB上に∠CDB＝45°となるように点Dをとる。また直線ABと点Aで接し、点Cを通る円と直線CDの交点をEとする。

（1）線分ADの長さを求めよ。また、∠DAEを求めよ。

（2）線分AEの長さを求めよ。

（3）弦ACに関して、点Eと反対側の弧上に点Pをとる。△ACPの面積の最大値を求めよ。

求め方がわかりません。
三平方の定理を使ってADを求めたのですが、間違っているような気がします。
解説よろしくお願いします。

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

（1）線分ADの長さを求めよ。また、∠DAEを求めよ。
＞BD=CD=1だからtan30°=BC/(AD+BD)=1/(AD+1)=1/√3
からAD+1=√3、AD=√3-1・・・答
（2）線分AEの長さを求めよ。
＞BC/AC=1/AC=sin30°=1/2からAC=2
円の中心をOとするとAB⊥AOだから∠OAC=60°、OA=OCだから∠OCA=60°
よって△ACOは正三角形でAO=CO=EO=AC=2
∠ACD=∠ACB-∠DCB=60-45=15°円弧AEの円周角=∠ACD=15°だから
円弧AEの中心角は30°、よって線分AEは等辺の長さが2で頂角30°の
二等辺三角形の底辺の長さになるので、余弦定理により
AE^2=2^2+2^2-2*2*2cos30°=4+4-8*(√3)/2=8-4√3
AE=√(8-4√3)=√6-√2・・・答
（3）弦ACに関して、点Eと反対側の弧上に点Pをとる。△ACPの面積の最大値を求めよ。
＞△ACPの面積が最大になるのは点PからACに下ろした垂線の長さが
最大になるときであり、それは直線OP⊥線分ACのとき。
円弧AEの中心角が30°なので、線分EOは∠AOCの二等分線であり、
かつEO⊥ACなので点Pは直線EOと直線OPは同一直線となり、
△ACPは底辺の長さが2で頂角が30°の二等辺三角形になるので、
余弦定理により等辺APの長さの二乗AP^2を求めると
2^2=AP^2+AP^2-2AP*APcos30°=(2-√3)AP^2よりAP^2=4/(2-√3)
このときの△ACPの面積=(1/2)AP^2sin30°=(1/2){4/(2-√3)}(1/2)
=1/(2-√3)=2+√3・・・答

お礼

大変わかりやすい解説ありがとうございました。

回答No.2

j-mayol

△ＡＢＣは∠ＡＢＣ＝９０°、∠ＣＡＢ＝３０°の直角三角形だから辺の比は1：2：√3
したがってＡＢ＝√３、ＢＣ＝１、ＣＡ＝２である。
また△ＣＤＢは直角二等辺三角形であるから、辺の比は１：１：√2
したがってＤＢ＝ＢＣ＝1、ＤＣ＝√2
（１）ＡＤ＝ＡＢ－ＤＢ＝√3-1
　　Ａを通りＡＢに垂直な直線を引き円との交点をＦとすると、接弦定理より∠ＣＡＢ＝∠ＡＦＣ＝３０°
　　また四角形ＡＦＣＤは円に内接するので∠ＡＦＣ＝∠ＡＥＤ＝３０°
　　∠ＤＡＥ＝∠ＣＤＢ－∠ＡＥＤ＝１５°（三角形の外角と内角の関係）
（２）△ＡＤＥ∽△ＣＡＤ　（２角が等しい）から　ＣＡ：ＡＥ＝ＣＤ：ＡＤ　つまり２：ＡＥ＝√２：√（３）-1
　ＡＥ＝√６－√２
（３）△ＡＰＣの面積が最大になるのは直線ＡＣとＰとの距離が最大となるときであり、ＰＥが直径となるときである。ここで（１）の△ＡＦＣよりこの円の半径は２。円の中心をＯとすると△ＯＡＣは正三角形となるため、直線ＡＣと中心Ｏとの距離は√３　よって△ＡＰＣの高さは２＋√３　よって面積は２×（２＋√３）×1/2＝２＋√３

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

asuncion

＞三平方の定理を使ってADを求めた

三平方の定理をどういう風に適用したか、提示してみてください。

お礼

ありがとうございました。

補足

△ABCは直角三角形なので
1:2:√3より、
BC＝1
AC＝2
AB＝√3

AD:DB＝CA:CB
＝2:1

AD＝√3*2/3＝2√3/3

って風に求めました。