高１ 数学

質問

河合模試の過去問です。わかる方、よろしくおねがいします。

三角形abcにおいて、ab=5,bc=6,cos∠abc=2/3である。
三角形abcの外接円の、点bを含まない弧ac上に点dがあり、線分ad,線分dcの長さはad=3l,dc=2l(lは正の定数)
また、線分acと線分bdの交点をeとする。
lの値を求めよ。

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

四角形ABCDは円に内接しているので、
∠ABC＋∠CDA＝２π
∠CDA＝２πー∠ABC
なので、ｃｏｓ∠ＣＤＡ＝－ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝－２／３

ここで△ＡＢＣについて余弦定理を用いると、
｜ＡＣ｜＾２＝｜ＡＢ｜＾２＋｜ＢＣ｜＾２－２ｃｏｓ∠ＡＢＣ＊｜ＡＢ｜｜ＢＣ｜
　　　　　　　＝２５＋３６－２＊２／３＊５＊６
　　　　　　　＝２１

また、△ＡＣＤについて余弦定理を用いると
｜ＡＣ｜＾２＝｜ＡＤ｜＾２＋｜ＣＤ｜＾２－２＊ｃｏｓ∠ＣＤＡ＊｜ＡＤ｜｜ＣＤ｜
　　　　　　　＝９ｌ＾２＋４ｌ＾２＋２＊２／３＊３ｌ＊２ｌ
　　　　　　　＝２１ｌ＾２
よって
２１ｌ＾２＝２１　であり、ｌは正でなくてはならないので
ｌ＝１

お礼

ありがとうございます！

回答No.3

gohtraw

No2です。訂正。
∠ＡＢＣ＋∠ＣＤＡ＝π　ですね。
よって
∠ＣＤＡ＝πー∠ＡＢＣ
ｃｏｓ∠ＣＤＡ＝－ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝－２／３

回答No.1

sanzero

余弦定理を△ABCと△ACDについて適用すればいけそうな気がします。

円に内接した四角形なので対角の和はπとなります。
cos∠ABC=2/3よりcos∠ADC=cos(π - ∠ABC) です。

※普通は頂点は大文字で表します

お礼

ありがとうございます！