数学を教えてください。

質問

円O上の点Aにおける接線l(エル)とする。また、点Aと異なるl(エル)上の点Bから円Oと２点で交わるような直線を引き、その交点をBに近い方からそれぞれC,Dとすると、AB＝６、BC＝４、AC＝３である。

(１)線分BDの長さを求めてください。
(２)ΔABCの外接円上の点Aにおける接線と円Oとの交点のうちAと異なる方をEとする。このとき、ΔEACとΔABCが相似であることを証明してください。また、線分CEの長さを求めてください。
(３) (２)において、直線ACと直線BEの交点をFとする。このとき、ΔBCFとΔCEFの面積比を最も簡単な整数の比で表してください。
解いてみると、
(１)方べきの定理より、DC＝ｘととくと
AB(二乗)＝BC×BD
６(二乗)＝４×(４＋ｘ)
３６＝１６＋４ｘ
４ｘ＝２０
　ｘ＝５
DC＋CBより
BD＝９まではなんとか解けたのですがここから解けないので途中式も含めて教えてもらえませんか？

回答No.1

egarashi · ベストアンサー

(2)
△EACと△ABCにおいて、
接弦定理より、
∠EAC=∠ABC…(1)
∠BAC=∠CDA…(2)
また、
∠CDA=∠AEC(∵弧ACに対する円周角)…(3)
(2)(3)より、
∠AEC=∠BAC…(4)
(1)(4)より、2組の角がそれぞれ等しいので、
△EAC∽△ABC

(3)
△BCFと△ABC、△CEFと△EACはそれぞれ高さが共通であり、△BCFと△CEF、△ABCと△EACはそれぞれ底辺が共通なので、面積比は、
△BCF:△CEF=△ABC:△EACである。
また、(2)より△ABC∽△EACであり、BC=4、AC=3なので、
この2つの三角形の相似比は4:3である。
∴面積比は、4^2:3^2である。
以上より、△BCF:△CEF=16:9である。

お礼

とても、解りやすかったです。
ありがとうございます。

回答No.2

Kules

値を出すのが面倒なのでヒントだけ
(２)接弦定理を円Oと△ABCの外接円に適用すれば２つの三角形の２組の内角が等しいことが言えるので２角相等で証明完了、相似が言えたら長さは問題ないはず。
(３)２つの三角形を、底辺をCF(共通)と見てやれば面積比は高さの比で決まることがわかる。この高さは、△AECと△ABCを、ACを底辺と見た時の高さと同じ。
つまり、△BCF:△CEF＝△ABC:△AEC
相似比と面積比の関係がわかれば終了！