数学 至急

質問

図形苦手です・・・
よろしくお願いします

問題:三角形ABCにおいて、AB＝3、AC=3√3、cosA=-√3/3である。また点Dは辺BC上にあり、AD＝√3BDを満たしている。

（2）線分BDの長さを求めよ。

（3）三角形ABCの外接円の中心をOとする。点Oを通り平面ABCに垂直な直線上に点Pをとり、四面体PABDをつくる。四面体PABDの体積が3√6/4になるときcos∠PAOの値をもとめよ。

回答No.2

nattocurry

BC=3√6　は既に求めていますよね。

(2)
△ABCに注目すると、余弦定理より
cosB=(AB^2+BC^2-CA^2)/(2*AB*BC)
また、△ABDに注目すると、余弦定理より
cosB=(AB^2+BD^2-DA^2)/(2*AB*BD)
よって、
(AB^2+BC^2-CA^2)/(2*AB*BC)=(AB^2+BD^2-DA^2)/(2*AB*BD)
BD*(AB^2+BC^2-CA^2)=BC*(AB^2+BD^2-DA^2)
AB=3、BC=3√6、CA=3√3、BD=x、AD=√3xを代入すると、xについての二次方程式になるので、それをxについて解く。
x=-3√6/2、√6/2となるが、x>0なので、x=√6/2

(3)
(sinA)^2+(cosA)^2=1より
sinA=±√(1-1/3)=±√6/3
∠Aは三角形の角なので、0°<A<180°より、sinA=√6/3

△ABC=AB*CA*sinA/2=3*3√3*√6/3/2=9√2/2
PABD=△ABC*PO/3
3√6/4=9√2/2*PO/3
PO=√3/2

OA=OB=OC=外接円の半径、なので、正弦定理より
BC/sinA=2*OA
3√6/(√6/3)=2*OA
OA=9/2

OPは平面ABCに垂直なので、∠POA=90°より
PO^2+OA^2=PA^2
3/4+81/4=PA^2
21=PA^2
PA=±√21
PA>0より
PA=√21

cos∠PAO=OA/PA=(9/2)/√21=9√21/42=3√21/14

回答No.1

noname#152422

君さあ、
http://okwave.jp/qa/q6852731.html
の1番でマルチポスト指摘されてるでしょ。
それなのに何故同じことを繰り返すかなあ。

1番の人が書いてる相似は明らかではないです。１番の人には明らかなんでしょうけど計算しないといけない。2番の人が書いてるように、余弦定理を何度か使わなければいけません。

ＢＤの長さが不明だから、三角形ＡＢＤと各Ｂに注目して余弦定理を書くと、ＢＤの長さと角Ｂという2変数の方程式が得られます。（ア）

次に、三角形ＡＢＣと各Ｂに注目して余弦定理を書くと、上記の1回目のマルチポストの2番の補足にあなたが書いたＢＣの長さを使えば、角Ｂという1変数の方程式が得られるからこれは解けて角Ｂの余弦がえられます。（イ）

三角形ＡＢＣと三角形ＡＢＤは角Ｂを共通にもつから、（イ）で求めた角Ｂの余弦を（ア）の方程式にそのまま代入して、ＢＤの長さに関する(二次）方程式がえられます。それを解けばＢＤの長さが得られます。これが（２）の結果。

三角形ＡＢＤの２辺ＡＢとＢＤと挟む角Ｂ、三角形ＣＢＡの２辺ＢＣとＡＢと挟む角Ｂが同じなので二つの三角形は相似になります。

闇雲に余弦定理を使うのではなくて、不明な量(辺の長さとか角の余弦や正弦など）を変数とみてその変数と同じ数の独立した異なる方程式を立てるということを考えてください。