三角比＆平面図形

質問

数学の問題でいきずまりました。助けてください！

AB=5 AC=8 ∠Ａ＝60°の△ABC がある。
また、△ABC の外接円の中心をＯとする。

♯　点Ｏ　を通り平面ＡＢＣに垂直な直線上にＯと異なる点Ｄをとり、
線分ＤＡ、ＤＢ、ＤＣの中点をそれぞれＰ，Ｑ，Ｒとする。
四面体ＤＰＱＲの体積が３分の５√２であるとき、
線分ＡＤの長さを求めよ！

という、問題です！
自分なりにやった結果は

ＢＣ＝７
△ＡＢＣ＝１０√３
AO=3分の７√３

Ｄ－ＰＱＲ：Ｄ－ＰＱＲの体積比をつかってＤＯ（高さ）を出そうと思いましたが、そもそも誤解があって、比が使えず、いきずまった・・・・
という、結果です・・・・・・

お願いします！！

回答No.2

naniwacchi

#1です。

＞ＰＱＲとＤＯは垂直でないので、
たとえば、三角形DABを考えたとき、辺ABと線分PQはどういう関係ですか？
（中学数学の言葉を借りれば、「中点連結定理」ですね）
同じことが、三角形DBCと三角形DCAでも言えます。

そうすると、三角形ABCと三角形PQRの関係もわかりますよね。
このことが言えれば、三角形PQRと線分DOの関係は「正しい」ことが言えます。

ここがきっちり言えれば、「誤解」はクリアされると思いますがいかがですか？

＞ＡＤもＢＤもＣＤも同じ長さになるということです
＞Ｏは外心なので、各頂点との長さも等しいわけで・・・・
そのとおり、合ってますよ。
だから、線分ADの長さだけを聞いているのかもしれませんね。

もっと自信をもっていいですよ。＾＾

お礼

そうなんですか・・・
実はクラスでビリのほうで自信が・・・ないので・・・・

ありがとうございます！！！
一度自分で考えて見ます！！

回答No.1

naniwacchi

考え方も合っているので、もうちょっとだと思うのですが。
「誤解」とはどのようなことですか？

・体積比を使うことは合っています。
・底面の面積がわかっているので、高さが求まります。
・外接円の半径も求められているので、ADは出ますよね。

お礼

僕の誤解とは

ＰＱＲとＤＯは垂直でないので、
その方法で解くと、

ＡＤもＢＤもＣＤも同じ長さになるということです！！！
Ｏは外心なので、各頂点との長さも等しいわけで・・・・