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数学の、平面図形の問題です。

下の図の三角形ABCにおいて、点DはBCの中点で、点EはADの中点である。このとき、四角形EDCFと三角形ABCの面積の比をもっとも簡単な整数の比で表しなさい。(解説もよろしくお願いします)

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チェバの定理より 1/1*1/2*CF/AF=1, 1/1*(CF+AF)/AF*EF/BE=1 これらから CF/AF=2, BE/EF=3 △CDE=△BCE*(CD/BC)=(1/2)△BCE=(1/2)△ABC*(DE/AD)=(1/2)(1/2)△ABC =(1/4)△ABC △CEF=△ACE*(CF/AC)=△ACE*(CF/(AF+CF))=△ACE*(2/(1+2))=(2/3)△ACE =(2/3)△ABC*(EF/BF)=(2/3)△ABC*(EF/(BE+EF)) =(2/3)△ABC*(1/(3+1))=(2/3)(1/4)△ABC=(1/6)△ABC 四角形EDCF=△CDE+△CEF={(1/4)+(1/6)}△ABC=(5/12)△ABC (答) 四角形EDCF:△ABC=5:12

参考URL:
http://yosshy.sansu.org/theorem/ceva_mene.htm

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質問者からのお礼

メネラウスの定理ですね、どうも有り難うございました。

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No.2です。 ANo.2の定理の訂正です。 一行目 誤:チェバの定理より 正:メネラウスの定理より 以上、失礼しました。

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メネラウスの定理よりAF:FCは1:2なので、△AEFの面積を1とした時、 △AEC=(3/1)×△AEF=3 となります。 また、AE:ED=1:1なので、 △ADC=(2/1)×△AEC=6 となります。 次に、BD:DC=1:1なので、 △ABC=(2/1)×△ADC=12 となります。 ここで四角形EDCFは (四角形EDCF)=△ADC-△AEF=6-1=5 であるので、求める面積比は △ABC:(四角形EDCF)=12:5 となります。

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質問者からのお礼

どうも有り難うございました。

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