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平面図形

問題:△ABCの3辺AB,BC,CAの中点をそれぞれD,E,Fとする.中線AE,BF,CDと等しい長さの線分を3辺とする三角形をPQRとするとき,△ABCと△PQRの面積比を求めよ.                 (答)・・・4:3 なんですが、解き方が全く思いつきません。自分としては、中点だから中線AE,BF,CDの交点が重心になるのでそれも何か関係するのかと思うんですが。後もしかしたら2つの三角形は相似で2乗して面積比を求めるのかとも思います。簡単な問題かもしれませんが解けないと気になってしまうのでぜひなぜそうなるのか教えて下さい。 一応言っときますが今は高校1年生です。

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.3
  • debut
  • ベストアンサー率56% (913/1604)

図がかけないので説明が大変そうだけど、こんなのはどうでしょう。 △ABCを180°回転した三角形の辺CAがもとの三角形のACと重なる ように置きます。(つまり全体として平行四辺形になる) で、ここで回転してつけた三角形のBをB'、AB'の中点をD'とします。 すぐにわかるように、BB'はFを通る平行四辺形ABCB'の対角線で あり、また、CD=D'Aです。 そして、ED'は△CBB'で中点連結定理からBB'の1/2の長さ、つまり BFの長さと等しくなります。 これらのことから、△PQRとなるべき部分は△AED'に置き換えられま した。 次に、もとの三角形の重心をG、ACとED'の交点をHとすると、 AG:GE=2:1と△AGF∽△AEHであることから AF:FH=2:1で、AF:AH=2:3 。 すると、△AED'の面積はED'を底辺として、△ABB'(底辺BB') の面積と比べることができ、△AED'の底辺は△ABB'の底辺の1/2倍、 △AED'の高さは△ABB'の高さの3/2倍(先ほどのAF:AHが2:3 になることより)だから、△AED'の面積は△ABB'の面積の1/2×3/2 =3/4倍となります。 ところで、△ABB'は平行四辺形ABCB'の1/2、つまりもとの△ABC の面積と等しいことがいえます。 結局、△ABCと△AED'の面積比は1:3/4=4:3 

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その他の回答 (2)

  • 回答No.2
  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)

考えてみました。 最後までちゃんと確かめてないですが、たぶん、こうです。 中線BFを、点Fが点Aに重なるように平行移動したとき、点Eの移動先をPと置く。 中線CDを、点Cが点Eに重なるように平行移動したとき、点Dの移動先は、さっきのPと丁度一致する。(答案には証明要) ・・・こうして三角形△AEPができます。 (これが、面積を求める三角形です) PEとABの交点をOと置く。 ここで三角形△OBEは、三角形△DBCを見比べると、相似であることに気づく。(答案では証明要) すると、一辺の長さの比が、BE:BC=1:2なので、 相似な図形の面積は一辺の長さの2乗に比例するから 面積△OBE:面積△DBC=1:4 ところが△OBEは、△ABCを2等分したものなので、 面積△OBE:面積△ABC=8:1 ・・・(ア) 次に、三角形△AOEに着目する。 三角形△AOEは、求める面積の三角形△AEPを2等分したもの。(答案では証明要) したがって 面積△AOE:面積△AEP=1:2 ところが、三角形△AOEは、△ABEから△OBEを切り取ったものなので、 △AOE=△ABE-△OBE さらに、△ABEは、元の三角形△ABCの半分なので △AOE=△ABC×1/2-△OBE さらに、結果(ア)より、 △OBE=△ABC×1/8 であるから △AOE=△ABC×(1/2-1/8)   =△ABC×3/8 ところが、△AOEは、面積を求める三角形△AEPの半分 ・・・ですから ばたばたーっと書いたので、どっか誤字あるかもしれませんが、悪しからず。

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  • 回答No.1

△ABCは正三角形ですか?

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質問者からの補足

違うと思います。問題には書いてありません。

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