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立体図形の三平方の問題
- 立体図形の三平方の問題について解説します。
- EQ：QRの比を求める方法や線分ERの長さを求める方法について説明します。
- △DERの面積を求める方法についても解説します。
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もう３日も経っているので、既に回答が示されてる、と思い＃１＃２様の回答を読んだら。＜自分で考えなさい＞との方針でした。解答は書きますが、色んな見方が出来るので、むしろ考え方を、しってください。更に、既に指摘が。あった様に、平面図形が主たる問題です。もう、解けている様なので、考え方が主です。 ーーーー （１）EQ：QRを求める。方法は様々ですが、列記しますと。 １．初等幾何 ２．座標 ３．ＶＥＣＴＯＲ ４．チェバ・メネラオス（メネラウス） １．で解ければＢＥＳＴですが、これだけで最後までいけるかは不明です。 多分行けるとは、思いますが。 なお、立方体は最後にしか使いませんので正方形を書くこと。 補助線の引き方は、様々です。 すぐ、目につくのは＜ＥＲの延長とＦＧの延長の交点＞です。これでも解けますが、ＢＥＳＴはＥＦの延長とＨＰの延長の交点、まＳとします。正確に描き、△ＱＥＳとＱＲＨに斜線をひくと、みえてきます。判らなくとも、判るまで睨んで下さい。・・・・・・EQ：QR＝３：１が判明します。 ２．は通常は秘密兵器で＜正式回答としては、不適ですが＞この問題は正方形ですから、遠慮なく使え＜正式回答＞になります。 Ｇ（０、０）、Ｈ（２、０）、Ｅ（２、２）、Ｆ（０，２）をｘ、ｙ平面上に取ってください。 後に負の部分も使いますので、ｘ軸、ｙ軸もきちんと書くこと。 ここで、直線ＥＲと直線ＨＰの方程式をつくります。（２本は不要かも知れないが、技法を知るためです。） 直線ＨＰは、ｙ＝（－1/２）ｘ＋１はでます。 直線ＥＲはどうするかです。これは＜ＥＲの延長とＦＧの延長の交点＞をりようします。交点を まＴとします。これも、図形感覚が必要です。ＦＧとはｙ軸のことです。ここでも△ＱＨＥと△ＱＰＴを睨みます。 Ｔが（０、－１）と見えれば、ＯＫです。 （ふたつの三角形が見えない時は、えーと 点Ｑのｘ座標のみでやります） 直線ＥＲは、ｙ＝（３/２）ｘ－Ｉ と判明。 連立させて、ｘ＝１が出ます。これは点Ｑのｘ座標ですから、計算しなくてもわかれば、ＢＥＴＴＥＲです。ｘ＝１をどちらの式に代入しても、ｙ＝１/２です。 ここで、ｙ＝１/２の意味を要思考。 色んな見方がありますが、EQ：QR＝３：１が見えればＯＫです。 ここまでが難しくて後は単なる計算です。えー＜線分ERの長さ＞ですね。 ＲＨを出すのが普通でしょうか。 直線ＥＲは、ｙ＝（３/２）ｘ－Ｉ でｙ＝０で ｘ＝２/３ですね。ということは、ＲＨは４/３。 （因みに、ＲＧ：ＧＨ＝１：２） あとは殆ど結果のみ。 三平方でＥＲ＝√５２/３ ＤＲ＝√５２/３ ＤＥ＝２√２ ＥＲ＝ＤＲになるのは図形観察で＜見えるひとは、始めから見えています＞ 二等辺三角形ですから、少し計算して、 （面積）＝（１/２）＊２√２＊（√３４/３）＝（２/３）√１７ です。 ーーー
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- lick6
- ベストアンサー率32% (25/77)
立体という条件は、△DERの面積を求めるときだけ必要なので、まず平面図形だと思ってやっていった方がわかりやすいと思います。 正方形は各対辺が平行なので比の問題ではこれを使わない手はありません。 Rの位置が微妙だなと思ったらその直線を延ばしてキレイな相似形を作ってしまえばある程度見通しが良くなります。 すると、＃１さんのような回答を導くことができます。 確かに長さをだしても比は出ますが、７：５とかになると分数ばかりになって計算も複雑になっていってしまいます。 比が与えられていて比を求めろといわれたら比だけで解けないかちょっと試みた方がいいですよ。
- Kules
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HPの延長線とFEの延長線の交点をSとします。 GP=PFより HP=PS これとHQ=QPより HQ:QS=1:3 ゆえにRQ:QE=1:3 ES=2EF=3RH(∵HR:ES=1:3) よりRHが求まり、三平方でREを求めます。 同様にRDを求めればRD=REより△DERは二等辺三角形なので、 Rから垂線を下ろすとDEの中点で交わります。 ここから高さを三平方で出せば試合終了です。
