• ベストアンサー
  • 暇なときにでも

公立高校入試問題について教えてください

図形問題なのですがわからないので教えてください。 1辺の長さが2cmの立方体ABCD-EFGHで、点Pは辺FGの中点、点Qは線分PHの中点である。また、点RはEQの延長と辺GHとの交点である。このとき△DERの面積を求めよ。解答に根号がつくときは、根号のついたままで答えること。 解答はもちろんなのですが、特にこの△DERの高さとなるのはDQにあたるのかということで、そうなるとすればどうしてなのでしょうか。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • shiga_3
  • ベストアンサー率64% (978/1526)

ちょっと文章でわかるかどうか分かりませんが、図を書いて検証しながら読んでください。 正方形EFGHについて、線分EFをFの方向に延長して、同じく線分PHをPの方向に延長した直線との交点を取り、これをIとします。 1)△IPFと△IHEを考えます。 2つの三角形が相似だということはすぐに分かると思います。そしてFP:EH=1:2ですから、IF:IE=1:2(IF=FE)となります。 2)△EIQと△RHQを考えます。 これも錯角、対頂角で2つの三角形の角度は等しくなりますので相似です。そしてIP=PH、PQ=QHから、IQ:QH=3:1となり、その結果IE:HRも3:1となります。IE=4cmですからHR=4/3cmです。 3)△ERHを考えます。 RH=4/3cm、HE=2cmから三平方の定理により、辺ERの長さは、√((4/3)^2+2^2)=(2√13)/3cmとなります。 これで面積を求める△DERの1辺の長さが分かりました。ここで、 4)ER=RD=(2√13)/3cmというのは図形を見ると分かると思います。そしてDEは1辺2cmの正方形の対角線ですから2√2cmになります。つまり底辺2√2cm、残る2辺が(2√13)/3cmの二等辺三角形ということになります。 ということは 5)△DERにおいて辺DEの中点をJとした時に、△RJEは∠Jを直角とする直角三角形となります。ER=(2√13)/3、JE=DE/2=√2ですので、三平方の定理より、RJ=√(((2√13)/3)^2-(√2)^2)=(√34)/3 そして、 6)RJは△DERの高さになりますので、求める△DERの面積は2√2×(√34)/3×1/2=(2√17)/3cm2となります。 詳しく解いてきましたが、おそらく最初の点Iの取り方が分かればあとは比較的簡単に出てくると思います。 なお、作図すれば分かりますが、ER⊥DQではありませんので、DQは△DERの高さではありません。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

大変よくわかりました、ありがとうございます。

関連するQ&A

  • 立体図形の三平方の問題

    1辺が2cmの立方体ABCD-EFGHがある。点Pは辺FGの中点、、点Qは線分PHの中点である。また点RはEQの延長と辺GHとの交点である。このときEQ:QRを簡単な比で求め、さらに線分ERの長さを求め、△DERの面積を求めなさい。 という問題です。 EQ:QRの比を求めてみようとしました。 分かる辺の長さを出してみました。PH=√5で、さらにPQ=HQ=1/2PHとうことがまず分かりました。 そこからなかなか進みません・・・考えとしては相似な三角形を使い求めていくと考えて、どこかに補助線が必要と考えていました。しかし、迷宮に入り込んでしまいました。すいませんがこの3つの解説をお願いします。

  • 高校入試の問題です 教えてください

    AD=6cmの長方形ABCDの辺ADを2:1に分ける点をE、線分BEと対角線ACとの交点をFとし、Bから対角線ACに下ろした垂線をBGとする。△BGF∽△BAEであり、辺ABの中点をMとするとき、GMの長さを求めなさい。

  • どうしてもわかりません! 中学数学

    1辺の長さが6cmの立方体ABCD-EFGHの辺FGの中点をPとし、EPとFHの交点をQとする。また点Qを通り辺AEと平行な直線がAPと交わる点をRとする。 (1)APは何センチか (2)PQとPRは何センチか (3)線分QRを軸にして△PQRを一回転してできる立体の体積。 (πは円周率) すいません、ど-してもわからないので教えてくださいっ!!

  • 高校入試数学 相似

    次の問題の考え方、解答を教えてください。 長方形ABCDがあり、点Eは辺BCの延長上の点でBC:CE=2:1である。辺AB上に、点Fをとり、線分EFと対角線BD、辺CDとの交点をそれぞれG,Hとする。 四角形AFGDの面積と△BEGの面積が等しいとき、線分CHの長さは線分HDの長さの何倍か。

  • 教えて下さい 数学

    1辺の長さが6cmの立方体ABCD-EFGHの辺FGの中点をPとし、EPとFHの交点をQとする。また点Qを通り辺AEと平行な直線かAPと交わる点をRとする。 AP、PQ、PRの長さは? AEだったら分かるんですけどAPはPが点のところにないので求め方がわかりませんでした。 このような場合どのように求めればいいのですか?

  • 高校入試・空間図形の問題【2】

    次の問題がよくわかりません。どなたか詳しく教えてください。 /////////////////////////////////////////// 【1】下の図のように、1辺の長さが4cmの正四面体ABCDがあり、辺BC、CDの中点をそれぞれM、Nとする。また、点Mから線分ANに垂線を引き、その交点をHとする。このとき次の問いに答えなさい。 (4)MHの長さを求めなさい。 (5)三角錐HBCDの体積は、正四面体ABCDの体積の何倍か求めなさい。 /////////////////////////////////////////// よろしくお願いします。

  • 長野県の高校入試問題です

    「 1辺の長さが5cmのひし形ABCDがあり、対角線BD=8cmである。辺ABを1辺とする正三角形EBAをつくる。さらに、点Pを線分BD上にとって、PAを1辺とする正三角形QPAをつくり、点EとQ、点PとCを直線で結ぶ。ただし、点Pは、点B、Dとは異なる位置にあり、点Qは直線PAについて点Eと同じ側にあるものとする。点Pを、EQ+QP+PCの長さが最小になるようにとるとき、EQ+QP+PCの長さを求めよ。 」 答えは  4+3√3  とわかっていますが、なぜそうなるのかが解りません。 下手な図で済みませんが、点Pは線分BD上にあります。

  • 高校入試・平面図形の問題【4】

    次の問題がどうしてもわかりません。解答解説を読んでも分からなかったので、力をお貸しください。 /////////////////////////////////////////////// 【1】下の図のような△ABCがあり、点Dは辺ABの中点である。2点E、Fは辺BCを3等分する点で、BE=EF=FCである。また、線分AEと線分DFとの交点をGとする。このとき、次の問いに答えなさい。 (1)四角形AGFCの面積は四角形BEGDの面積の何倍か求めなさい。 /////////////////////////////////////////////// よろしくお願いします。

  • 高校入試問題解いてください!

    塾講やってるんですが生徒から聞かれた問題が解けないので助けて下さい>< 問:三角形ABCがある。   ∠A=70°、∠B=50°、∠C=60°とする。   辺ABの中点をD、辺ACの中点をEとする。   辺BEと辺CDの交点をFとする。   ∠BFCの大きさを求めよ。 解答・解説お願いしますm(_ _)m

  • 高校受験 数学

    図のように一辺の長さ12の立方体ABCD-EFがある。辺FG上に点MをFM:MG=1:2 辺GH上に点NをGN:NH=2:1となるようにとり、三点A、M、Nを通る平面でこの立体を切断する。 辺BFと切断する平面との交点をPとするとき、BP:PFを求めて下さい。 答え3:1みたいです。