公立高校入試問題について教えてください

質問

図形問題なのですがわからないので教えてください。

１辺の長さが２ｃｍの立方体ABCD-EFGHで、点Pは辺FGの中点、点Qは線分PHの中点である。また、点RはEQの延長と辺GHとの交点である。このとき△DERの面積を求めよ。解答に根号がつくときは、根号のついたままで答えること。

解答はもちろんなのですが、特にこの△DERの高さとなるのはDQにあたるのかということで、そうなるとすればどうしてなのでしょうか。

回答No.1

shiga_3 · ベストアンサー

ちょっと文章でわかるかどうか分かりませんが、図を書いて検証しながら読んでください。
正方形ＥＦＧＨについて、線分ＥＦをＦの方向に延長して、同じく線分ＰＨをＰの方向に延長した直線との交点を取り、これをＩとします。

１）△ＩＰＦと△ＩＨＥを考えます。
２つの三角形が相似だということはすぐに分かると思います。そしてＦＰ：ＥＨ＝１：２ですから、ＩＦ：ＩＥ＝１：２（ＩＦ＝ＦＥ）となります。

２）△ＥＩＱと△ＲＨＱを考えます。
これも錯角、対頂角で２つの三角形の角度は等しくなりますので相似です。そしてＩＰ＝ＰＨ、ＰＱ＝ＱＨから、ＩＱ：ＱＨ＝３：１となり、その結果ＩＥ：ＨＲも３：１となります。ＩＥ＝４cmですからＨＲ＝４/３cmです。

３）△ＥＲＨを考えます。
ＲＨ＝４/３cm、ＨＥ＝２cmから三平方の定理により、辺ＥＲの長さは、√((４/３)^２＋２^２)＝（２√１３）/３cmとなります。

これで面積を求める△ＤＥＲの１辺の長さが分かりました。ここで、
４）ＥＲ＝ＲＤ＝（２√１３）/３cmというのは図形を見ると分かると思います。そしてＤＥは１辺２cmの正方形の対角線ですから２√２cmになります。つまり底辺２√２cm、残る２辺が（２√１３）/３cmの二等辺三角形ということになります。

ということは
５）△ＤＥＲにおいて辺ＤＥの中点をＪとした時に、△ＲＪＥは∠Ｊを直角とする直角三角形となります。ＥＲ＝（２√１３）/３、ＪＥ＝ＤＥ/２＝√２ですので、三平方の定理より、ＲＪ＝√(((２√１３)/３)^２－(√２)^２)＝(√３４)/３

そして、
６）ＲＪは△ＤＥＲの高さになりますので、求める△ＤＥＲの面積は２√２×(√３４)/３×１/２＝(２√１７)/３cm2となります。

詳しく解いてきましたが、おそらく最初の点Ｉの取り方が分かればあとは比較的簡単に出てくると思います。

なお、作図すれば分かりますが、ＥＲ⊥ＤＱではありませんので、ＤＱは△ＤＥＲの高さではありません。

お礼

大変よくわかりました、ありがとうございます。