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中学3年生の図形の問題

図のように平行四辺形ABCDがある。 点Eは、辺ADの中点であり、CF:FD=1:2である。 また点Gは線分AFと線分BEの交点である。 △AEGの面積は、平行四辺形ABCDの面積の何倍になるか求めなさい。 答えは16分の1倍なのですが、解き方を教えていただけますでしょうか?

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BEの延長とCDの延長の交点をHとすると、 △ABG∽△FHG(2組の角) また△ABE≡△DHEなので、AB=DH(=C D) C Fを1とすればFDは2、DHとABは3となるから、 上の相似比はAB:FH=3:(2+3)=3:5 よって、AG:FG=3:5 △AEGの面積を3とすれば、△EFGの面積は5 (底辺をそれぞれAG,GFとみれば、残りの頂点が同じ点にある  から、その高さは等しい、つまり面積比はAGとGFの比と  なるからです。・・以下、同じ考えなので、底辺だけ示します) よって、△AEFの面積は3+5=8で、△DEFと等しいから (底辺がそれぞれ、AEとEDだから) △ADFの面積は8+8=16 △ACFの面積は△ADFの1/2なので(底辺がそれぞれ、DFと C Fだから)8。よって、△AC Dの面積は16+8=24 よって、平行四辺形ABC Dの面積は24×2=48 △AEGの面積3は、平行四辺形ABC Dの面積48の3/48倍 約分して 1/16 倍となります。

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質問者からのお礼

ありがとうございました。 やっと理解できました。

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