• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

高校入試・空間図形の問題【2】

次の問題がよくわかりません。どなたか詳しく教えてください。 /////////////////////////////////////////// 【1】下の図のように、1辺の長さが4cmの正四面体ABCDがあり、辺BC、CDの中点をそれぞれM、Nとする。また、点Mから線分ANに垂線を引き、その交点をHとする。このとき次の問いに答えなさい。 (4)MHの長さを求めなさい。 (5)三角錐HBCDの体積は、正四面体ABCDの体積の何倍か求めなさい。 /////////////////////////////////////////// よろしくお願いします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1

(1)AB=4cm,BM=2cmよりAM=AN=√(4^2-2^2=√12cm △AMNにおいて HN=xcmとするとMN=2cmなので MH^2=AM^2-(AN-x)^2=(√12)^2-(√12-x)^2=2√12x-x^2 MH^2=MN^2-HN^2=2^2-x^2=4-x^2 2√12x-x^2=4-x^2 2√12x=4 x=2/√12 =2/(2√3) =1/√3=√3/3cm MH^2=4-(√3/3)^2=11/3 MH=√11/√3=√33/3cm (2)点AからBCDに垂線をおろしGとすると BG:GN=2:1 BN=2√3cmなので BG=2√3×(2/3)=4√3/3cm AG^2=AB^2-BG^2 =4^2-(4√3/3)^2 =16-48/9 =96/9 AG=√96/3=4√3/3--->四面体ABCDの高さ HからMNに垂線をおろしIとしIN=xcmとすると HI^2=MH^2-MI^2 (√33/3)^2-(2-x)^2 =11/3-4+4x-x^2 =-1/3+4x-x^2 HI^2=HN^2-x^2 =(√3/3)^2-x^2 =1/3-x^2 -1/3+4x-x^2=1/3-x^2 4x=2/3 x=1/6cm HI^2=1/3-(1/6)^2 =1/3-1/36 =11/36 HI=√11/√36 =√11/6cm---->三角錐HBCDの高さ 底面積は等しいので体積の違いは高さの違いのみ √11/6÷4√3/3=√11/8√3=√33/24倍 数値は違っているかもしれません・・

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

答えでは、(4)が√33/3  (5)が1/6倍でした。 参考書の解答が詳しくないので(4)の答えを参考にさせてもらいます^^

その他の回答 (1)

  • 回答No.2

(5)すみません 体積比はAN:HNの長さの比なので AN=2√3cm,HN=√3/3cm より √3/3÷2√3=1/6倍でした

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございます。参考にさせてもらいます。

関連するQ&A

  • 高校入試・空間図形の問題

    次の問題がよくわかりません。詳しく教えてください。 ////////////////////////////////////// 【1】下の図のようなAB=3√3cm、AD=3cm、AE=8cmの直方体がある。また、点EからAGに垂線をひき、その交点をPとする。このとき次の問に答えなさい。 (4)三角錐AEFPの体積をV₁、三角錐GEFPの体積をV₂とするとき、V₁:V₂をもっとも簡単な整数の比で表わしなさい。 ////////////////////////////////////// お願いします。

  • 正四面体に引いた垂線の長さの比 を求めよ。

    正四面体ABCD があり、一辺の長さは6である。辺 BC の中点をM、頂点A から線分MD に引いた垂線をAH とする。 線分 MH と HD の長さの比は、□:□ であることが分かる。 ・・という問題です。 解答は、√3:2√3 = 1:2 となっていますが、なぜそうなるのでしょうか? 私は、正四面体とあり、頂点A から垂線を・・とあるので、H は直角で、MH もHD も同じ長さ(1:1)と考えてしまいます。また、1:2になるならばH は直角にはならないように思うのですが、理解できず悩んでいます。 どうか回答をお願い致します。

  • 空間図形.三平方の定理

    図は.AB=AC=DB=DC.AD=BC=4cmの四面体ABCDである. 頂点Aから辺BCに垂線を引き.辺BCとの交点をHとすると.AH=5cmとなっている.このとき.次の(1).(2)の問いを答えてください (1)辺BCとねじれの位置にある辺を答えてください (2)三角形AHDの面積を答えてください (3)四面体ABCDの体積を求めてください お願いします 解き方の説明もあればうれしいです.

  • 高校入試の問題です 教えてください

    AD=6cmの長方形ABCDの辺ADを2:1に分ける点をE、線分BEと対角線ACとの交点をFとし、Bから対角線ACに下ろした垂線をBGとする。△BGF∽△BAEであり、辺ABの中点をMとするとき、GMの長さを求めなさい。

  • 空間図形の問題です。

    図のように1辺の長さが2cmの立方体ABCD-EFGHがある。辺AB,BC,EFの中点をそれぞれI,J,Kとする。 点Hを頂点として、△IJKを底面とする三角錐の体積を求めなさい。 解説を読んでも理解できません。 なるべく詳しく解説お願いしますm(__)m

  • 空間ベクトルの問題なのですが

    正四面体ABCDの辺AB、CDの中点をそれぞれM,Nとし、線分MNの中点をG、∠AGBをΘとする。このとき、cosΘあたいを求めよ どうかお願いします

  • 空間図形の問題です

    正四角錐でP,Qがそれぞれ中点のとき、五面体PQABCDの体積はもとの立体の体積の何倍になってますか? 手書きですいません。 分かる方よろしくお願いします。

  • 高校入試・平面図形の問題【4】

    次の問題がどうしてもわかりません。解答解説を読んでも分からなかったので、力をお貸しください。 /////////////////////////////////////////////// 【1】下の図のような△ABCがあり、点Dは辺ABの中点である。2点E、Fは辺BCを3等分する点で、BE=EF=FCである。また、線分AEと線分DFとの交点をGとする。このとき、次の問いに答えなさい。 (1)四角形AGFCの面積は四角形BEGDの面積の何倍か求めなさい。 /////////////////////////////////////////////// よろしくお願いします。

  • 中学数学の図形の問題です。

    数学の図形の問題がわかりません。教えてください。よろしくお願いいたします。 図のようにAB=6cm、BC=9cmの長方形ABCDがある。辺ADの上側に点Eを、AB=AE、AD=DEとなるようにとる。また、点Eから辺ADにひいた垂線と辺ADとの交点をFとし、点Dから線分AEにひいた垂線と線分AEとの交点をGとする。点Hは線分CEと辺ADとの交点である。 このとき次の問いに答えなさい。 ・点Eと直線CDとの距離を求めなさい。 ・線分DHの長さは線分FHの長さの何倍か求めなさい。

  • 空間図形

    宿題で空間図形の問題が出ているのですが、全然解けません。 どなたか途中式と答えをお願いします!! 次の2つの図は、底面の正方形の対角線の長さが6cm、高さが8cmの正四角柱をもとにして、四角錐を作ったようすを表しています。 点Pを正方形ABCDの対角線の交点、点Qを辺BF上の点とするとき、それぞれの立体の体積を求めなさい。 という問題です。 なるべく教科書どおりの解き方がいいです。 よろしくお願いします!!