平面図形の問題です。教えて下さい。

質問

平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、２辺ＣＤ、ＡＤの中点をそれぞれＥ、Ｆとし、線分ＡＥと線分ＢＦの交点をＧとする。このとき、三角形ＥＦＧと三角形ＢＣＥの面積の比を、最も簡単な整数の比であわしなさい。

回答No.4

ferien

＞平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、２辺ＣＤ、ＡＤの中点をそれぞれＥ、Ｆとし、線分ＡＥと線分ＢＦの交点をＧとする。
＞このとき、三角形ＥＦＧと三角形ＢＣＥの面積の比を、最も簡単な整数の比であわしなさい。
図を描いてください。さらにBEを引く。

平行四辺形ABCD＝ABCD　とします。
図から、△BCE＝(1/4)ABCD　……(1)，△ABF＝(1/4)ABCD，△EDF＝(1/8)ABCD　
だから、
△BEF＝ABCD－△BCE－△ABF－△EDF
＝{1－(1/4)－(1/4)ー(1/8)}ABCD
＝(3/8)ABCD　……(2)

対角線ACとBDを引く。交点はそれぞれの中点になる。その交点をOとおく。
ACとBFの交点をH とおく。
△ABDで、AO,BFは中線だから、Hは重心。
よって、AH：HO＝2：1，　BH：HF＝2：1　……(3)
△DACで、E,Fが中点だから、中点連結定理より、FE//AC，FE：AC＝1：2　……(4)
対角線ACについて
AO＝CO　より、AO：CO＝1：1＝3：3
(3)より、AH：HO＝2：1だから、AO：AH＝3：2
AC：AH＝(AO＋CO）：AH＝(3＋3)：2＝6：2
(4)より、FE：AC＝1：2＝3：6
よって、AH：FE＝2：3　……(5)

△AHGと△EFGとで、
(4)より、AH//EF　だから、2組の錯角が等しいから、
2つの角が等しいことより、
△AHG∽△EFG
よって、(5)より、HG：FG＝AH：EF＝2：3　だから、
HF：FG＝5：3，　HF：HG＝5：2　……(6)

(3)より、BH：HF＝2：1＝10：5　だから、
(6)と合わせて、BH：HG：GF＝10：2：3　だから、
BG：GF＝(10＋2)：3＝4：1　……(7)

△EFGと△BEFで、頂点をEと見ると、高さが共通だから、面積の比は底辺の比と等しい。
よって、(7)より、△EFG：△BEF＝GF：BF＝1：(4＋1)＝1：5
(2)より、△EFG＝(1/5)△BEF＝(1/5)・(3/8)ABCD＝(3/40)ABCD

よって、(1)より、
△EFG：△BCE＝(3/40)ABCD：(1/4)ABCD＝3/40：1/4＝3：10

図をかいたほうがわかりやすいです。確認してみてください。

お礼

ありがとうございました。感謝致します。

回答No.3

yyssaa

△ABFと△BEFについて線分BFを共通の底辺と考えると、底辺の
長さが等しいので△ABFの面積と△BEFの面積の比は、点Aから
BFまでの高さ(h1とします)と点EからBF(延長線を含む)までの
高さ(h2とします)の比と等しくなります。
すなわち、△ABFの面積/△BEFの面積=h1/h2・・・・・(1)
同様に線分FGを△AFGと△EFGの共通の底辺と考えると、△AFGの
面積と△EFGの面積の比もh1とh2の比に等しくなります。
すなわち、△AFGの面積/△EFGの面積=h1/h2・・・・・(2)
(1)(2)から
△AFGの面積/△EFGの面積=△ABFの面積/△BEFの面積・・・・・(3)
次に、平行四辺形ABCDの面積をSとした場合に、△ABFの面積と
△BEFの面積をそれぞれSで表します。
仮にAD=BCの長さをa、ADとBCの距離(例えば点AからBCに下ろした
垂線の長さ)をbとするとS=a*b・・・・・(4)
△ABFの面積=(1/2)*(a/2)*b=a*b/4=S/4・・・・・(5)
△BEFの面積
=平行四辺形ABCDの面積-△ABFの面積-△BCEの面積-△EDFの面積
・・・・・(6)
ここで△BCEの面積=(1/2)*a*(b/2)=a*b/4=S/4・・・・・(7)
△EDFの面積=(1/2)*(a/2)*(b/2)=a*b/8=S/8・・・・・(8)
(6)に平行四辺形ABCDの面積=S、(5)、(7)及び(8)を代入すると
△BEFの面積=S-S/4-S/4-S/8=S*(1-1/4-1/4-1/8)=3S/8・・・・・(9)
(5)と(9)を(3)の右辺に代入すると(3)の左辺は
△AFGの面積/△EFGの面積
=△ABFの面積/△BEFの面積=(S/4)/(3S/8)=2/3となり、△EFGの
面積は、△AFGの面積と△EFGの面積を加えた△AEFの面積の3/5、
すなわち△EFGの面積=(3/5)*△AEFの面積・・・・・(10)
ここで△AEFの面積=(1/2)*(a/2)*(b/2)=a*b/8=S/8なので、
△EFGの面積=(3/5)*△AEFの面積=(3/5)*(S/8)=3S/40・・・・・(11)
(7)から△BCEの面積=S/4なので、(11)と合わせて
△EFGの面積/△BCEの面積=(3S/40)/(S/4)=3/10となり、
△EFGの面積:△BCEの面積=3:10となります。

お礼

ありがとうございました。参考にさせていただきます。

回答No.2

yyssaa

＞別の解法です。
EFの延長線とBAの延長線の交点をHとすると、△AFH≡△EDF
だからAH=AB/2
△BEHにメネラウスの定理を適用して(EF/FH)*(HB/BA)*(AG/GE)=1
すなわち(1/1)*(3/2)*(AG/GE)=1からAG/GE=2/3。
よって△EFGの面積=(3/5)*△AEFの面積
△AEFの面積=(1/2)*△AEDの面積=(1/2)*△BCEの面積
よって△EFGの面積=(3/5)*(1/2)*△BCEの面積=(3/10)*△BCEの面積
よって△EFGの面積:△BCEの面積=3:10・・・答

お礼

ありがとうございました。中学生に説明したいのですが、理解できる方法はありませんか。

回答No.1

ereserve67

ベクトルで解きますが，ベクトル記号は省略します．

AB=b,AD=d

とおきます．BG:GF=t:(1-t)とすると，

(1)AG=(1-t)AB+tAF=(1-t)b+td/2

またGはAE上にあるので

(2)AG=kAE=k(AC+AD)/2=k(AB+AD+AD)/2

=kb/2+kd

b,dは一次独立だから(1)，(2)より

1-t=k/2,t/2=k

∴2-2t=t/2,t=4/5;k=2/5

∴AG=(2/5)AE

AG:GE=2:3なので

△EFG=(3/5)△AFE=(3/5)(1/2)△AED

=(3/10)△BCE

すなわち

△EFG：△BCE=3：10

お礼

ありがとうございました。参考にさせていただきます。