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平面図形の問題です。教えて下さい。

平行四辺形ABCDにおいて、2辺CD、ADの中点をそれぞれE、Fとし、線分AEと線分BFの交点をGとする。このとき、三角形EFGと三角形BCEの面積の比を、最も簡単な整数の比であわしなさい。

noname#212290
noname#212290

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  • 回答No.4
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

>平行四辺形ABCDにおいて、2辺CD、ADの中点をそれぞれE、Fとし、線分AEと線分BFの交点をGとする。 >このとき、三角形EFGと三角形BCEの面積の比を、最も簡単な整数の比であわしなさい。 図を描いてください。さらにBEを引く。 平行四辺形ABCD=ABCD とします。 図から、△BCE=(1/4)ABCD ……(1),△ABF=(1/4)ABCD,△EDF=(1/8)ABCD  だから、 △BEF=ABCD-△BCE-△ABF-△EDF ={1-(1/4)-(1/4)ー(1/8)}ABCD =(3/8)ABCD ……(2) 対角線ACとBDを引く。交点はそれぞれの中点になる。その交点をOとおく。 ACとBFの交点をH とおく。 △ABDで、AO,BFは中線だから、Hは重心。 よって、AH:HO=2:1, BH:HF=2:1 ……(3) △DACで、E,Fが中点だから、中点連結定理より、FE//AC,FE:AC=1:2 ……(4) 対角線ACについて AO=CO より、AO:CO=1:1=3:3 (3)より、AH:HO=2:1だから、AO:AH=3:2 AC:AH=(AO+CO):AH=(3+3):2=6:2 (4)より、FE:AC=1:2=3:6 よって、AH:FE=2:3 ……(5) △AHGと△EFGとで、 (4)より、AH//EF だから、2組の錯角が等しいから、 2つの角が等しいことより、 △AHG∽△EFG よって、(5)より、HG:FG=AH:EF=2:3 だから、 HF:FG=5:3, HF:HG=5:2 ……(6) (3)より、BH:HF=2:1=10:5 だから、 (6)と合わせて、BH:HG:GF=10:2:3 だから、 BG:GF=(10+2):3=4:1 ……(7) △EFGと△BEFで、頂点をEと見ると、高さが共通だから、面積の比は底辺の比と等しい。 よって、(7)より、△EFG:△BEF=GF:BF=1:(4+1)=1:5 (2)より、△EFG=(1/5)△BEF=(1/5)・(3/8)ABCD=(3/40)ABCD よって、(1)より、 △EFG:△BCE=(3/40)ABCD:(1/4)ABCD=3/40:1/4=3:10 図をかいたほうがわかりやすいです。確認してみてください。

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  • 回答No.3
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

△ABFと△BEFについて線分BFを共通の底辺と考えると、底辺の 長さが等しいので△ABFの面積と△BEFの面積の比は、点Aから BFまでの高さ(h1とします)と点EからBF(延長線を含む)までの 高さ(h2とします)の比と等しくなります。 すなわち、△ABFの面積/△BEFの面積=h1/h2・・・・・(1) 同様に線分FGを△AFGと△EFGの共通の底辺と考えると、△AFGの 面積と△EFGの面積の比もh1とh2の比に等しくなります。 すなわち、△AFGの面積/△EFGの面積=h1/h2・・・・・(2) (1)(2)から △AFGの面積/△EFGの面積=△ABFの面積/△BEFの面積・・・・・(3) 次に、平行四辺形ABCDの面積をSとした場合に、△ABFの面積と △BEFの面積をそれぞれSで表します。 仮にAD=BCの長さをa、ADとBCの距離(例えば点AからBCに下ろした 垂線の長さ)をbとするとS=a*b・・・・・(4) △ABFの面積=(1/2)*(a/2)*b=a*b/4=S/4・・・・・(5) △BEFの面積 =平行四辺形ABCDの面積-△ABFの面積-△BCEの面積-△EDFの面積 ・・・・・(6) ここで△BCEの面積=(1/2)*a*(b/2)=a*b/4=S/4・・・・・(7) △EDFの面積=(1/2)*(a/2)*(b/2)=a*b/8=S/8・・・・・(8) (6)に平行四辺形ABCDの面積=S、(5)、(7)及び(8)を代入すると △BEFの面積=S-S/4-S/4-S/8=S*(1-1/4-1/4-1/8)=3S/8・・・・・(9) (5)と(9)を(3)の右辺に代入すると(3)の左辺は △AFGの面積/△EFGの面積 =△ABFの面積/△BEFの面積=(S/4)/(3S/8)=2/3となり、△EFGの 面積は、△AFGの面積と△EFGの面積を加えた△AEFの面積の3/5、 すなわち△EFGの面積=(3/5)*△AEFの面積・・・・・(10) ここで△AEFの面積=(1/2)*(a/2)*(b/2)=a*b/8=S/8なので、 △EFGの面積=(3/5)*△AEFの面積=(3/5)*(S/8)=3S/40・・・・・(11) (7)から△BCEの面積=S/4なので、(11)と合わせて △EFGの面積/△BCEの面積=(3S/40)/(S/4)=3/10となり、 △EFGの面積:△BCEの面積=3:10となります。

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ありがとうございました。参考にさせていただきます。

  • 回答No.2
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

>別の解法です。 EFの延長線とBAの延長線の交点をHとすると、△AFH≡△EDF だからAH=AB/2 △BEHにメネラウスの定理を適用して(EF/FH)*(HB/BA)*(AG/GE)=1 すなわち(1/1)*(3/2)*(AG/GE)=1からAG/GE=2/3。 よって△EFGの面積=(3/5)*△AEFの面積 △AEFの面積=(1/2)*△AEDの面積=(1/2)*△BCEの面積 よって△EFGの面積=(3/5)*(1/2)*△BCEの面積=(3/10)*△BCEの面積 よって△EFGの面積:△BCEの面積=3:10・・・答

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ありがとうございました。中学生に説明したいのですが、理解できる方法はありませんか。

  • 回答No.1

ベクトルで解きますが,ベクトル記号は省略します. AB=b,AD=d とおきます.BG:GF=t:(1-t)とすると, (1)AG=(1-t)AB+tAF=(1-t)b+td/2 またGはAE上にあるので (2)AG=kAE=k(AC+AD)/2=k(AB+AD+AD)/2 =kb/2+kd b,dは一次独立だから(1),(2)より 1-t=k/2,t/2=k ∴2-2t=t/2,t=4/5;k=2/5 ∴AG=(2/5)AE AG:GE=2:3なので △EFG=(3/5)△AFE=(3/5)(1/2)△AED =(3/10)△BCE すなわち △EFG:△BCE=3:10

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ありがとうございました。参考にさせていただきます。

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