中学生の幾何の証明問題です。

質問

中学数学図形の証明問題です。△ABCの内部に任意の点Pをとり、各頂点と線分で結びます。ただし、辺BCを最小の辺とします。このとき、AB+AC>AP+BP+CPとなることを証明せよ。という問題で悩んでいます。
問題は、点Pが三角形の内部の「任意の点」ということで、心やフェルマー点とは限らないことです。もし結論が、AB+BC+AC>AP+BP+CPならば以下のように証明できます。
△CABと△PABの関係に着目して、AC+BC>AP+BP。同様に、△PACでは、AB+BC>AP+CP。PACでは、AB+AC>BP+CPが成立します。各不等式の辺、辺を足して整理すると、AB+BC+AC>AP+BP+CPが成り立つことが証明できます。しかし、問題では左辺はAB+ACとなっていて、BCの処理ができません。恐らく、「最小の辺をBCにする」というところが引っ掛かって来るのだろうと思います。
三角形の内部の点がフェルマー点であれば、http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1162666096で回答されているように証明が可能だと思うのですが、任意の点ではこの方法は使えません。
中学生でも証明できる方法を探しています。
どなたかご教授いただけないでしょうか。

回答No.2

muturajcp

#1の方の
「線分MCと線分NBの交点をQとすると、Pは四角形AMQNの内点である」
部分が成立しない場合もあるのでその部分を飛ばして
直接「PがAM,ANを2辺とする平行四辺形Xに含まれる」
ことを示した方がよいと思います。

∠A=∠BAC
∠B=∠ABC
∠C=∠ACB
辺BCを最小の辺とすると
|AB|≧|BC|
|AC|≧|BC|
∠A≦∠C
∠A≦∠B
Pは△ABCの内部の点だから
max(|AB|,|BC|)>|BP|
max(|AC|,|BC|)>|CP|
|AB|>|BP|
|AC|>|CP|
だから
辺AB上に点Mを取って、
|BM|=|BP|
∠BMP=∠BPM
となるようにできる。
辺AC上に点Nを取って、
|CN|=|CP|
∠CNP=∠CPN
となるようにできる。

180°-2∠BMP=∠MBP≦∠B
2∠BMP≧180°-∠B=∠A+∠C
∠BMP≧(∠A+∠C)/2≧∠A
180°-∠AMP=∠BMP≧∠A
∠AMP+∠A≦180°

180°-2∠CNP=∠NCP≦∠C
2∠CNP≧180°-∠C=∠A+∠B
∠CNP≧(∠A+∠B)/2≧∠A
180°-∠ANP=∠CNP≧∠A
∠ANP+∠A≦180°
だから
線分AMと線分ANを2辺とする
平行四辺形Xを作ると、
四角形AMPNはこの平行四辺形Xに含まれる
PはXに含まれるから
AP=sAM+tAN,0<s≦1,0<t≦1
となるs,tがあるから
|AP|=|sAM+tAN|<|AM|+|AN|
∴
|AP|+|PB|+|PC|<|AM|+|AN|+|BP|+|CP|=|AB|+|AC|

回答No.1

stomachman

きちんとはやってないんですが。

　BCが最短の辺のとき、辺AB上に点Mを取って、△MBPが∠MBPを頂角とする二等辺三角形になるようにでき、また、辺AC上に点Nを取って、△NCPが∠NCPを頂角とする二等辺三角形になるようにできる（んじゃないかな？）
　線分MCと線分NBの交点をQとすると、Pは四角形AMQNの内点である（んじゃないかな？）
　線分AMと線分ANを２辺とする平行四辺形Xを作ると、四角形AMQNはこの平行四辺形Xに含まれる（んじゃないかな？）
　Xの任意の内点Rは
　AR < AM+AN
を満たす（んじゃないかな？）

　すると、
　　AP < AM+AN
なので
　　AP+PB+PC < AM+AN+PB+PC = AB+AC
となる（んじゃないかな？）