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図形の証明です。相似?手詰まりです!

AB=ACである二等辺三角形ABCの内部の1点Pから辺BC,CA,ABにおろした垂線の長さをa,b,cとする。 bc=a^2 を満たす点Pは、三角形ABCの内心I、頂点B,Cを通る円上にあることを証明しなさい。 bc=a^2 より a:b=c:a かとは思いましたが、結論の「円上にあること」 に結び付けられません! お力をお貸し下さい!

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  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

>点Pから辺BC、CA、ABに下ろした垂線の足をDEFとする。 4点PDCEはPCを直径とする同一円周上にあるので、円周角の定理により、 ∠PCE=∠PDE・・・・・(ア)。 4点PDBFはPBを直径とする同一円周上にあるので、円周角の定理により、 ∠PBD=∠PFD・・・・・(イ)。 四角形PDCEとPDBFで∠DCE=∠DBFだから、∠DPE=∠DPF。題意より PD/PE=PF/PDなので、△PDEと△PDFは同じ大きさの角を挟む2辺の比が 等しいので相似となり、∠PDE=∠PFDとなる。 よって(ア)(イ)より、∠PCE=∠PBD・・・・・(ウ)。 点Iは内心だから∠ICE=(1/2)∠ACB=(1/2)∠ABC=∠IBD・・・・・(エ)。 (ウ)(エ)より、∠PCE-∠ICE=∠PBD-∠IBD、すなわち∠PCI=∠PBIとなり、 点B、Cから、それぞれ線分PIを見込む二つの角∠PBIと∠PCIの大きさが 等しいので、四点共円定理(円周角の定理の逆)により、4点PBCIは共円 (同一円周上)である。(証明終わり)

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  • 回答No.2
  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)

>∠PCD=∠PBFということでしょうか? そうです。間違えました。 Pがどこにあっても、∠BPCが一定だということは理解できましたか。 円周角の定理とは「同じ弧に対する円周角の大きさは等しい」ですが、 その逆も成り立ちます。 「4点A,B,P,Qについて、P,Qが直線ABについて同じ側にあるとき,∠APB=∠AQB ならば,この4点は1つの円周上にある」 http://ja.wikibooks.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6_3%E5%B9%B4%E7%94%9F-%E5%9B%B3%E5%BD%A2/%E5%86%86%E5%91%A8%E8%A7%92 つまり、∠BPCが一定なら、PがどこにあってもB,C,Pは同じ円周上にあるということです。

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質問者からのお礼

多々勉強になりました。 本当にありがとうございました。

  • 回答No.1
  • nag0720
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点Pから辺BC,CA,ABにおろした垂線の足をD,E,Fとすると、 a:b=c:aだから、△PDE∽△PFD これから、△CDE∽△BFD、△PDC∽△PFBであることは容易に分かるでしょう。 つまり、∠PCD=∠PFB よって、∠PCD+∠PBD=∠PFB+∠PBD=∠ABD となり、 ∠PCD+∠PBDは一定で、∠BPCも一定だから円周角の定理より点Pは同一円周上にある。 点Pは、I,B,Cの場合でも条件を満たすから、内心I、頂点B,Cを通る円上にある。

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質問者からのお礼

ありがとうございます! ∠PCD=∠PFBは ∠PCD=∠PBF ということでしょうか? (間違っていましたらご指摘ください) ∠PCD+∠PBDは一定で、∠BPCも一定だから円周角の定理より点Pは同一円周上にある。 もう少し補足いただけるとわかりそうです。 お手数をおかけします。

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