ある高校数学の問題

質問

東大の数学の過去問のなかに

四角形ABCDが,半径65/8(=R)の円に内接している.
AB+BC+CD+DA=44で,BC=CD=13であるとき,残りの2辺ABとDAの長さを求めよ.

という問題があり以下のように解いてみました.

AB＝xとおくと,
AB+BC+CD+DA=44 より DA=18-x

また,△BCDにおいて,正弦定理より
BC/sin∠BDC=2R ∴sin∠BDC=4/5

よって 0°＜∠BDC＜90°より
cos∠BDC=3/5

∠BDC=∠BAC=∠CADより,△BACと△ADCに余弦定理を用いて

13^2=x^2+AC^2-2xAC×3/5
13^2=(18-x)^2+AC^2-2(18-x)AC×(-3/5)

辺々を引いて整理すると

(x-9)(AC-15)=0

よってx=9 または AC=15
AC=15⇔x=4,14

∴(AB,DA)=(4,14),(9,9),(14,4)

となったのですが、解答をみるとどうやら(9,9)は答えに適さないみたいですΣ
解答を見てもどうしてもx=9が出てきてしまうのかわからず…

x=9がなぜ解の一つとして出てきてしまうのか,この解法の誤りをご教授お願いいたします。
見づらい点はご勘弁ください。

回答No.1

noname#130496 · ベストアンサー

x=9が出てくる理由は、
余弦定理から導かれた連立方程式が、x=ABとACに、
「BC=CD=13、AB+BC+CD+DE=44、cos∠BAC=cos∠CAD=3/5」
という条件を課しているが、
「四角形ABCDは半径65/8の円に内接する」
という条件を課してはいないから、ではないでしょうか。

方程式を解いた後、(AB, DA)=(9, 9)が内接の条件に反することを示しさえすれば、「誤り」にはならないと思います。

お礼

お早いご回答ありがとうございます。
どの問題でも、与えられた条件をすべて満たすようにするのが絶対条件でしたね！
勉強になりました^^