数学の質問です。図形です

質問

数学の質問です。
三角比と図形の問題です。
別解を考えたいです。

半径１の円に内接する四角形ABCDに対し、
L=AB^2-BC^2-CD^2+DA^2
とおく三角形ABDと三角形BCDの面積をそれぞれSおよびTとする。また角A＝Θ
ただし０度＜Θ＜９０度とおく。
Θを一定としたとき、Lの最大値を求める。
という問題なのですが、頂点A,Cから線分BDに引いた垂線をAP、CQとするとS+T＝1/2BD[AP+CQ]
またAP+CQ≦円の直径より求める値は・・・・

としないほかの方法でときたいのですが、何か方法はないですか？

ちょっと考えてみました。

△ABD,△CBDでそれぞれ余弦定理
BD^2=AB^2+DA^2-2*AB*DA*cosθ
BD^2=BC^2+CD^2-2*BC*CD*cos(180°-θ)

AB^2+DA^2-2*AB*DA*cosθ=BC^2+CD^2+2*BC*CD*cosθ
AB^2-BC^2-CD^2+DA^2=2cosθ(AB*DA+BC*CD)
L=2cosθ(AB*DA+BC*CD)

S+T=1/2AB*DA*sinθ+1/2BC*CD*sin(180°-θ)
2(S+T)=sinθ(AB*DA+BC*CD)
AB*DA+BC*CD=2(S+T)/sinθ

L=4(S+T)/tanθ

S+Tが最大となるのはACが直径となるとき
よって∠ABC=∠ADC=90°
S+T=1/2AB*BC+1/2CD*DA
S+T=1/2AB*DA*sinθ+1/2BC*CD*sinθ=1/2AB*BC+1/2CD*DA や
AB^2+BC^2=DA^2+CD^2=AC^2=4
を使ったら解けるかなと思ったのですが途中で力尽きました。

ACが直径となるときS+Tがどうして最大となっているのでしょうか？
またAB^2+BC^2=DA^2+CD^2=AC^2=4
はどうして成り立っているのですか？

頂点A,Cから線分BDに引いた垂線をAP、CQとするとS+T＝1/2BD[AP+CQ]
またAP+CQ≦円の直径より求める値は8COSΘです

ここでどうしてS+TをSINΘの式ではなくいちいち補助線まで引いて別の表し方に下のでしょうか？
SINΘのあらわし方で解くことはできないのでしょうか？

回答No.2

Tacosan

その辺は実際に図を描くとわかりやすいんじゃないでしょうか.
例えば S+T = BD sin φ ですが, BD と AC の交点を E とおきます. このとき, S+T は △ABC の面積と △ ADC の面積の和となります. そして AC を底辺と考えると △ABC の高さは BE sin φ, △ADC の高さは DE sin φ です. 従って (AC = 2 がわかっているので)
S+T = AC・BE sin φ/2 + AC・DE sin φ/2 = 2・(BE+DE) sin φ/2 = BD sin φ となります.
これを最大にするので sin φ = 1, つまり φ=90° は OK でしょう. つまり AC と BD は直交します.
そして, 円の中心 O に対し OB = OD = 1 で二等辺三角形OBD の底辺 BD と OC が直交するので OC は BD を二等分します. よって BE = ED. このことから △ABE ≡ △ADE より ∠BAE = ∠DAE = ∠BAD/2 = θ/2 ですが, 弧BC に対して円周角の定理を適用すると ∠BOE = ∠BOC = 2∠BAC = 2∠BAE = θ, つまり BE = (DE =) sin θ となり, △ABC の面積は AC・BE/2 = 2sin θ/2 = sin θ. ということで #1 の「S = T = sin θ」は間違っているのですが (すみません), 最終的な式である S+T = 2sin θ は正しいです.

お礼

すいませんでした。
とてもよくわかりました。

すごいですね
めちゃくちゃ頭いいですね。
どうやったらそんな考え方ができるのですか？

ほんとに感謝してます
ありがとうございました

補足

例えば S+T = BD sin φ ですが, BD と AC の交点を E とおきます. このとき, S+T は △ABC の面積と △ ADC の面積の和となります.
とあったのですがどうしてS+Tは△ABC の面積と △ ADC の面積の和となるのでしょうか？

そして AC を底辺と考えると △ABC の高さは BE sin φ, △ADC の高さは DE sin φ です. 従って (AC = 2 がわかっているので)
ここでどうしてAC = 2 がわかっているのでしょうか？
またどうして△ABCの高さはBEsinΦなのでしょうか？

S+T = AC・BE sin φ/2 + AC・DE sin φ/2 = 2・(BE+DE) sin φ/2 = BD sin φ となります.
これを最大にするので sin φ = 1, つまり φ=90° は OK でしょう. つまり AC と BD は直交します.
そして, 円の中心 O に対し OB = OD = 1 で二等辺三角形OBD の底辺 BD と OC が直交するので
とあったのですがOBDは辺であって二等辺三角形でないです。

OC は BD を二等分します. よって BE = ED. このことから △ABE ≡ △ADE より ∠BAE = ∠DAE = ∠BAD/2 = θ/2 ですが, 弧BC に対して円周角の定理を適用すると ∠BOE = ∠BOC = 2∠BAC = 2∠BAE = θ, つまり BE = (DE =) sin θ となり, △ABC の面積は AC・BE/2 = 2sin θ/2 = sin θ. ということで #1 の「S = T = sin θ」は間違っているのですが (すみません), 最終的な式である S+T = 2sin θ は正しいです.

回答No.1

Tacosan

とりあえず S+T を最大にすることについて:
まず ∠DAB = θ が一定であることから BD は固定してかまいません. θの範囲から A は優弧, C は劣弧の側にあります.
そして S+T を考えるのですが, S は C の位置によらず A の位置のみで決まり, 逆に T は A の位置に無関係に C の位置のみで決まります. つまり, S+T を最大にするには S と T をそれぞれ最大化すればよいということになります.
で, それぞれを最大化する結果として A, C は直線 BD に平行な円の接線 TA, TC の 2つの接点になります (このときに A, C から直線 BD までの距離が最大になります). つまり TA と TC は平行であり, これらの接線の距離が A と C の距離になります.
ここで A を通る円の半径 rA を考えるとこれは TA に垂直ですが, TA と TC が平行ですから rA は TC とも垂直になります. したがって rA は TC と円との接点である C も通り, AC が円の直径であることが分かります.
そしてこのとき (円周角の定理から) ∠ABC, ∠CDA はいずれも直角です.
以下別法に逃げると:
線分 BD の長さは固定であり, BD と AC のなす角を φ とおくと
S+T = 2 BD sin φ/2 = BD sin φ.
これを最大にすればよいので φ = 90°. したがって S = T = sin θ となるので
Lmax = 4(2sin θ)/tan θ = 8 cos θ.
途中まで面積を使って処理したので, 最後まで面積で突っ走ってみました.

補足

線分 BD の長さは固定であり, BD と AC のなす角を φ とおくと
S+T = 2 BD sin φ/2 = BD sin φ.
この式は一体どこからでてきたのですか？
これを最大にすればよいので φ = 90°. したがって S = T = sin θ となるので
なんでS=T=sinΘとなるのでしょうか？
Lmax = 4(2sin θ)/tan θ = 8 cos θ