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三角形の問題

ΔABCにおいて、AB=2√10、BC=11。 また、∠Aの三等分線と辺BCとの交点をD、Eとし、BD=2、DE=3、EC=6とする。さらに、AD=x、AE=yとする。 ここで、Xの値を求めたいのですが分かりません。 解説には、「ΔABD:ΔADE=BD:DE=2:3だから・・・(中略)・・・y=3√10となる。」 とあるのですが、、「ΔABD:ΔADE=BD:DE」の部分がなぜそうなるのか分かりません。誰か教えてくれないでしょうか。

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.3

塾の講師をしています。 これは中学3年生の問題ですね? 早い学校ではもう習っていると思いますが図形は苦手な人はかっこう難しく感じると思います。 文章で説明するとわかりづらいかも知れませんが一応説明します。 三角形の面積は 底辺×高さ÷2ですよね いまの場合、高さは一緒で底辺だけ違います。 詳しく書くと △ABD=2×高さh÷2 △ADE=3×高さh÷2 よって△ABD:△ADE=2×高さh÷2:3×高さh÷2          =2:3 です。高さが一緒になるのはわかりますか? Aから線分BCに垂線を下ろすとそれが高さhです。 三角形の面積を求めるときは必ず底辺とそれに垂直な高さが必要です。 △ABCという表現は面積を表しています。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 図形は意外な定理を使うことがあるので、そういうときはかなり悩みます。

その他の回答 (2)

  • 回答No.2

△ABDと△ADEの面積を求めます。 BD:DE=2:3は底辺の長さの差です。 両方の三角形の高さはそれぞれ元の三角形(△ABC)の高さと同じですから等しい。仮にαとしましょう △ABD:△ADEを面積にすると 2×α×1/2:3×α×1/2 です。後ろのα×1/2は同じなのでそれぞれ割って消します。 よって面積の比率も2:3です。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。理解できました。

  • 回答No.1
  • Yokoken
  • ベストアンサー率32% (27/84)

三角形の辺の比と面積比の関係ですね。 この場合、△ABDと△ADEの底辺をそれぞれ、 BD、DEと見ると、この2つの三角形の高さが同じになることが分かるでしょうか? もし、分からないようであれば、AからBCに垂線を下ろしてやると、 2つの三角形の高さが見えると思います。 三角形の面積は、 底辺×高さ÷2ですから、 高さを一定にすると、 三角形の面積は底辺の長さの比になります。 補足ですが、 y=3√10は角の2等分線定理を用いれば、 あっさり出てきます。 良かったらご参考までに。

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質問者からのお礼

なるほど、高さが同じというのがポイントですね。ありがとうございました。

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