二等辺三角形の

質問

図のように、ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣの辺ＡＢ，ＡＣの中点をそれぞれＤ，Ｅとし、線分ＢＥ，ＣＤの交点をＦとする。
ＢＥ＝ＢＣであるとき、次の各問に答えなさい。

(1)∠ＣＢＥ＝ｘ°とするとき、∠ＡＢＥをｘの式で表しなさい。

(2)ＡＢ＝ａ、ＢＣ＝ｂとするとき、ａとｂの間に成り立つ関係式を求めなさい。

(3)△ＡＢＣと△ＣＥＦの面積比を簡単な整数で表しなさい。

という問題です。お願いします。

回答No.2

tomokoich · ベストアンサー

(1)∠ABE=∠ACD=yとする∠CBE=∠BCD=x(二等辺三角形より)
二等辺三角形BCEにおいて
∠BCE=x+y=∠BEC
三角形の内角の和より
∠CBE+∠BEC+∠BCE=180°
x+(x+y)+(x+y)=180°
3x+2y=180°
2y=180°-3x
y=90°-(3x/2)

(2)△ABCと△BCEは相似より
AB:BC=BC:CE
a:b=b:a/2
b^2=a^2/2
a^2=2b^2

(3)Fは重心なのでAからBCにおろした垂線の足をHとすると
AF:FH=BF:FE=CF:FD=2:1
△ABCの面積を1とすると
△BECは高さが△ABCの1/2なので面積も1/2
△BFCは高さが△ABCの1/3なので面積も1/3
△CEF=△BEC-△BFC=1/2-1/3=1/6
△ABC:△CEF=1:1/6=6:1

回答No.1

nattocurry

ＢＥ＝ＢＣなので、△ＣＢＥは二等辺三角形。
そして、△ＡＢＣ∽△ＢＣＥ。

よって、∠ＢＣＥ＝∠ＢＥＣ＝（１８０°－ｘ）／２＝９０°－ｘ／２

∠ＢＥＡ＝１８０°－∠ＢＥＣ＝９０°＋ｘ／２
∠ＡＢＥ＝１８０°－∠ＢＡＥ－∠ＢＥＡ＝１８０°－ｘ－（９０°＋ｘ／２）＝１８０°－ｘ－９０°－ｘ／２＝９０°－３ｘ／２

△ＡＢＣ∽△ＢＣＥなので、

ＡＢ：ＢＣ＝ＢＣ：ＣＥ

ＣＥ＝ＢＤ＝ＡＢ／２なので、

ＡＢ：ＢＣ＝ＢＣ：ＡＢ／２

ａ：ｂ＝ｂ：ａ／２

ａ×ａ／２＝ｂ×ｂ
ａ×ａ＝２×ｂ×ｂ
ａ＾２＝２ｂ＾２

△ＦＢＣ∽△ＦＥＤ、ＢＣ：ＤＥ＝２：１

ＢＦ：ＦＥ＝２：１

△ＣＢＦ：△ＣＥＦ＝２：１

△ＣＢＥ＝３△ＣＥＦ

ＡＥ＝ＥＣなので、△ＡＢＣ＝２△ＣＢＥ

△ＡＢＣ＝２△ＣＢＥ＝６△ＣＥＦ

よって、△ＡＢＣ：△ＣＥＦ＝６：１