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平面図形の問題（センター過去問）

△ABCにおいて、∠Aは鈍角で、∠B=30°である。点Cから直線ABに引いた垂線と直線ABとの交点をHとする。辺BCの中点をMとして、直線ACは三点ABMを通る円と点Aで接しているとする。（点Hの位置は円の内部ではなく、線分BAの延長上にある。 以下問題が続く（求められたのは∠AMB=45°） ）（センター本試験2005年） ACとHMの交点をK,直線BKとHCの交点をLとする。△HBKと△BCKの面積比はHL:LCである。 この面積比はどのようにして求められたのでしょうか？ 二つの面積は△HBCから△HKCを切り取ったものであることに注目するのかな…？ と思うのですが全くわかりません。 よろしくお願いします。

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ＨとＣ から直線ＢＫに垂線ＨＸ，Ｃ Ｙを引いてみれば △ＨＸＬ∽△Ｃ ＹＬ(２組の角がそれぞれ等しい）なので、 ＨＸ：Ｃ Ｙ＝ＨＬ：ＬＣです。 一方、△ＨＢＫと△ＢＣ Ｋの底辺を共通なＢＫとみれば それぞれの三角形の高さがＨＸとＣ Ｙになります。 よって、２つの三角形の面積比はＨＸ：Ｃ Ｙ、つまり ＨＬ：ＬＣになります。

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ありがとうございます。 大変よくわかりました。

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