図形と計量・平面図形［数学I］

質問

2009年センター試験追試改正の問題です。
わからないので解説して頂きたいです。
よろしくお願い致します。

△ABCにおいて、AB=AC=6、cos∠BAC=2/3とする。辺ABを1:2に内分する点をDとする。

(1)CからABに垂線をひき、垂線との交点をHとする。このとき、AH=ア、CH=イ√ウであり、BC=エ√オ、CD=カ√キである。また、cos∠BCD=ク/ケである。

(2)Bにおいて直線ABに接し、Cにおいて直線ACに接する円の中心をOとする。CDと円との交点のうちCと異なる方をEとする。△BDEと相似な三角形は、コとサである。
したがって、BE=シである。よって、AE=ス√セであり、△ABEの面積はソ√タである。
AEの延長と円Oとの交点のうちEと異なる方をFとするとき、AF=(チツ√テ)/トである。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

(1)について
cos∠BAC=2/3=AH/AC=AH/6からAH=ア=4
CH^2=6^2-4^2=36-16=20からCH=イ√ウ=2√5
BC^2=CH^2+BH^2=20+(6-4)^2=20+4=24からBC=エ√オ=2√6
CD^2=CH^2+DH^2=20+(4-2)^2=20+4=24からCD=カ√キ=2√6
以上からBC=CD、よって△BCDは二等辺三角形になり、△BCDと△ABCは∠ABCを
共有しているので△BCDと△ABCは相似、よって∠BAC=cos∠BCDから
cos∠BAC=cos∠BCD=ク/ケ=2/3

(2)について
DB^2=DE*DC(公式)より4^2=DE*2√6、DEについて解いてDE=8/√6
DE:DB=8/√6:4=2:√6=4:2√6=DB:DC
以上から△BDEと△BCDは∠BDCを挟む２辺の比が等しいので相似である。
従って(1)の結果と合わせて
△BDEと相似な三角形は、コとサ=△BCDと△ABCになる。
BD=BE=シ=4
AE^2=AB^2+BE^2-2*AB*BE*cos∠ABE
∠ABE=∠BACであるからAE^2=6^2+4^2-2*6*4*2/3=20よりAE=ス√セ=2√5
△ABEの面積=BE*(sin∠ABE)*AB/2
sin∠ABE=√｛(1-(cos∠ABE)^2｝=(√5)/3
従って△ABEの面積=ソ√タ=4*6*(√5)/(3*2)=4√5=ソ√タ
AE*AF=AC^2(公式)よりAF=36/(2√5)=(18 √5)/5

お礼

丁寧な解説でとてもわかりやすかったです。
助かりました。
本当に感謝します。
ありがとうございました。