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図形と計量

三角形ABCにおいて、AB=3√3,AC=6,cos角BAC=(√3)/3とする。 辺AB上に点DをBD/BC=1/3となるようにとり、三角形BCDの外接円と直線ACとの交点のうちCと異なる方をEとする。 このとき、角CDB=角CEB=90° である。 さらに、三角形BCEの内接円Iと辺EC、BEの接点をそれぞれH1,H2とし、円Iの半径をrとすると、 CH1=サ-r、BH2=シ(√ス)-r であり、r=3/2(セ+(√ソ)-(√タ)) である。 直線BEと直線CDの交点をFとし、三角形BCFの外接円の中心をOとする。 外接円Oの半径は(チ√ツ)/テであり、線分OEと円Oの交点をGとすると、 EG=3/4{√(トナ)-ニ√ヌ}である。 この問題の解き方を教えてください。

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  • mizuwa
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一例です △ABCにおいて、 {AB=3√3,AC=6,cos(∠BAC)=(√3)/3}とする。 辺AB上に点DをBD/BC=1/3となるようにとり、 △BCDの外接円と直線ACとの交点のうちCと異なる方をEとする。 このとき、∠CDB=∠CEB=90°である。 さらに、 △BCEの内接円Iと辺EC,BEの接点をそれぞれH1,H2とし 円の半径をrとすると、【辺BCと内接円の接点をHとします】 【四角形EH2IH1が正方形なので、EH1=EH2=rとなり】 【CE=3,BE=3√2であることから】 ★CH1=CE-EH1=3-r,BH2=BE-EH2=3√2-rであり 【CH=CH1,BH=BH2,BC=CH+BH=3√3で】 【(3-r)+(3√2-r)=3√3から】 ★r=(3/2)(1+√2-√3)である 直線BEと直線CDの交点をFとし、△BCFの外接円の中心をOとする。 【BF=3√2/2,BC=3√3,sin(∠FBC)=sin(∠CBE)=√6/2で】 【正弦定理を利用し】 ★外接円Oの半径は、9√2/4である 線分OEと円Oの交点をGとすると、 【OC⊥AC,OC=9√2/4,EC=3から、OE=3√34/4で】 【OG=9√2/4から】 ★EG={3√34/4}-{9√2/4}=(3/4)(√34-3√2) 補足【OC⊥ACについて】 △ABCはBA=BCの二等辺三角形で、BE⊥ACより ∠DBF=∠CBF・・・(1) B,D,E,Cは円周上の点で、 ∠DBF=∠ECF・・・(2) (1)(2)より、∠CBF=∠ECFとなり 接弦定理の逆が成り立つので、ACは円Oの接線 サ(3),シ(3),ス(2),セ(1),ソ(2),タ(3) チ(9),ツ(2),テ(4),ト(3),ナ(4),ニ(3),ヌ(2)

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