至急！数学I 図形と計量です・・・

質問

半径Rの円Oに内接する四角形ABCDが、
AB＝AD＝√3、cos∠BAD=-1/3,cos∠ABC＝√3/3
を満たしている。
（１）BDの長さと半径Rを求めよ。
（２）sin∠ABCの値、AC,CDの長さを求めよ。

答えはBD=2√2、R=3/2
sin∠ABC＝√6/3、AC＝√6、CD＝１
です。解説がまったくないのでわかりません＞＜
だれかわかりやすくおしえてください＞＜
お願いしますｍｍ

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
△ABDに余弦第２定理を適用して
BD^2=3+3-2*3*(-1/3)=8
∴BD=2√2
円の中心をＯ,∠ABC=∠B と置くと
△OABでOA=OB=Rなので二等辺三角形
2RcosB=√3
∴R=√3/(2cosB)=√3/(2/√3)=3/2

(2)
∠ABC＝∠Bとおく。
cosB=1/√3＞0なので∠Bは鋭角　∴sinB＞0
sinB=√{1-cos^2(B)}=√(1-(1/3))=√(2/3)=√6/3
△ABDに余弦第２定理を適用して
cos∠ABD=(3+8-3)/(2√24)=2/√6
sin∠ABD)=√{1-(4/6)}=1/√3
cos∠CBD=cos(∠B-∠ABD)=cosBcos∠ABD+sinBsin(∠ABD)
=(1/√3)(2/√6)+(√6/3)(1/√3)=2√2/3
cos∠BAC=cos(∠A-∠CAD)=cos(2(90°-∠ABD)-∠CBD)
=-cos(2∠ABD+∠CBD) =cos(∠B+∠ABD)
=cosBcos(∠ABD)-sinBsin(∠ABD)
=(1/√3)(2/√6)-(√6/3)(1/√3)=0
∴∠BAC=90°
△ABCは直角三角形
BCは直径で、ＯはBCの中点になるので BC=2R=3。
∠BDC=90°,△ABCも直角三角形。
三平方の定理より
AC=√(BC^2-AB^2)=√(9-3)=√6
CD=√(BC^2-BD^2)=√(9-8)=1

回答No.3

htms42

まったくわからないということはないでしょう。
ＢＤの長さぐらいは何とかわかるのではないですか。
どこをどうさまよったのかを示してもらわないと答えようがありません。

まさか数学というのは模範解答を覚えることと思っておられるのではないでしょうね。

あえて余弦定理を使わないでやります。
（１）ｃｏｓ∠ＢＡＤ＝－１／３より∠ＢＡＤ＞９０°
　ＤからＡＢの延長線上に垂線ＤＥを下ろす。
　これで△ＡＤＥの辺の長さがすべてわかります。
　ＡＤ＝√３ですからＡＥ＝１／√３＝√３／３、ＤＥ＝２√６／３です。
　これでＢＤの長さはわかります。・・・・２√２
　Ａを通る直径ＡＦを引く。ＡＦ⊥ＢＤ。ＡＦ，ＢＤの交点をＧとする。
△ＡＢＦ∽△ＢＧＡ
ＡＢ＝√３、ＢＧ＝√２よりＡＧ＝１
これより、ＡＥ＝３、Ｒ＝３／２がでてきます。

（２）△ＡＢＦにおいてｃｏｓ∠ＢＡＦ＝√３／３より
　∠ＡＢＣ＝∠ＢＡＦ＝∠ＢＡＧ
　△ＡＢＧでｓｉｎ∠ＢＡＧ＝√２／√３だから
　ｓｉｎ∠ＡＢＣ＝√２／√３＝√６／３
　ＢＣは直径になっているから∠ＢＤＣ＝９０°
　これでＣＤがわかります。

回答No.1

Tacosan

正弦定理や余弦定理を駆使してください.