数学の問題

質問

下記の問題の、解き方の基礎的なことがわかりません。
どういった公式を使うなどの基本的なことなど、詳しく教えてもらえるとうれしいです。

四角形ABCDは、円０に内接し、２AB＝BC、CD＝２、DA＝１、ｃos∠ABC＝5/8を満たしている。
この時、AC＝√？？/？である。また、円０の半径は2/13√？？？で、AB＝√？である。
さらに、BD＝4/5√？？、ｃos∠BCD＝2/5√？である。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

利用する公式は、　余弦定理と正弦定理　の２つです。

(1)　ACを求める。
　四角形ABCDは円に内接するので、対角の和は180°です。
　　∴∠CDA=180°-∠ABC, ∠DAB=180°-∠BCD
　従って、三角関数の補角の公式　cos(180°-θ)=-cosθ, sin(180°-θ)=sinθ　から
　　cos∠CDA=-cos∠ABC, cos∠DAB=-cos∠BCD　　　・・・・・(A)
　　sin∠CDA=sin∠ABC　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・(B)

　△ACDに余弦定理を用いて、与えられた値を入れていきます。
　　AC^2=AD^2+DC^2-2AD・DCcos∠CDA
　⇔AC^2=AD^2+DC^2+2AD・DCcos∠ABC　　　（式（A)から）
　　AC^2=1+4+2×1×2×5/8 =15/2
　∴AC=√(15/2)=√30/2

(2)　円Oの半径Rを求める。
　cos∠ABC＝5/8 から
　　sin∠ABC=√{1-(cos∠ABC)^2}=√39/8
　式（B)から　sin∠CDA=sin∠ABC=√39/8

　△ACDに正弦定理を用いて
　　2R=AC/sin∠CDA
　　2R=(√30/2)/(√39/8)
　∴R=(2/13)√130

(3)　ABを求める。
　△ABCに余弦定理を用いて
　　AC^2=AB^2+BC^2-2AB・BCcos∠ABC
　AC=2ABなので
　　AC^2=AB^2+4AB^2-4AB^2cos∠ABC
　　AC^2=5AB^2-4AB^2×(5/8) =(5/2)AB^2
　∴AB^2=(2/5)AC^2 =(2/5)×15/2 =3
　∴AB=√3

(4)　cos∠BCDを求める。
　△ABDと△CBDに余弦定理を用いて
　　BD^2=AB^2+AD^2-2AB・AD∠DAB=BC^2+CD^2-2BC・CDcos∠BCD
　分かっている値と式（A)を利用して
　　4+2√3cos∠BCD=16+8√3cos∠BCD
　∴cos∠BCD=(2/5)√3

(5)　BDを求める。
　式（A)から　cos∠DAB=-cos∠BCD=-(2/5)√3
　(4)で使った△ABCの余弦定理の式から
　　BD^2=AB^2+AD^2-2AB・ADcos∠DAB
　∴BD^2=4+2√3×(2/5)√3 =32/5
　∴BD=(4/5)√10