中学数学の図形の問い

質問

[１]線分ＡＢを直径とする円Ｏがある。円の接線をＡＴとする
　　円の周上にＡＣ//ＯＤなる２点Ｃ，Ｄをとる。
　　ＡＢとＣＤの交点をＥとする。
　　ＡＢ＝４ｃｍ　∠ＤＡＴ＝３６°のとき、
　　∠ＡＤＣの大きさと線分ＯＥの長さを求めなさい。
[２]点Ｏを中心とした円がある
　　Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは円Ｏの周上の点で⌒ＡＣ＝⌒ＢＤ
　　また、弦ＡＣと弦ＢＤの交点をＥとし、中心Ｏから、弦ＡＣ，弦ＢＤに
　　それぞれ垂線ＯＨ，ＯＫをひく
　　∠ＨＥＫ＝１３０°のとき、∠ＯＨＫの大きさを求めなさい。
[３]全ての辺の長さが等しい正四角錘ＡＢＣＤＥがある。
　　各側面の三角形の重心をそれぞれＰ，Ｑ，Ｒ，Ｓとし、
　　底面ＢＣＤＥの対角線の交点をＴとする。
　（１）四角錘ＴＰＱＲＳの体積は、正四角錘ＡＢＣＤＥの体積に何倍になるか？
　（２）ＡＢ＝６ｃｍのとき、点Ｐから正四角錘の表面にそって、
　　　　点Ｄまで行くときの最短の長さを求めなさい。
[４]ある点Ａから円Ｏに接線を二本引き、接点をそれぞれＢ，Ｃとする。
　　円Ｏの円周上に点Ｄをとる。
　　点Ｄを通り、線分ＢＣに平行な直線と接線ＡＢ，ＡＣの交点を
　　それぞれＥ，Ｆとする。（ＡＢ＜ＡＥ，ＡＣ＜ＡＦ）
　　ＢＣ＝３ｃｍ　ＣＤ＝４ｃｍ　ＤＢ＝２ｃｍとする。
　（１）ＦＤとＤＥの長さの比を求めなさい
　（２）ＡＤとＢＣの交点をＧとするとき、ＣＧの長さを求めなさい

いっぱいありますが、どうぞよろしくお願いします

回答No.1

nanjamonja · ベストアンサー

[１]の解答
∠ＤＡＴ＝∠ＡＣＤ＝∠ＯＤＣ＝３６°
∠ＡＯＤ＝２∠ＡＣＤ＝７２°
△ＡＯＤは二等辺三角形だから
∠ＡＤＯ＝(１８０°―７２°)／２＝５４°
∠ＡＤＣ＝５４°―３６°＝１８°

△ＯＤＥで∠ＥＯＤの二等分線とＥＤとの交点をＦ
とすると,△ＯＤＥ∽△ＯＥＦ
ＯＤ：ＯＥ＝ＯＥ：ＥＦ　　ＯＥ＝Ｘとおくと
２：Ｘ＝Ｘ：２―Ｘ
Ｘ＾2＋２Ｘ―４＝０
Ｘ＝√５―１
以上です

お礼

おそくなりましたが、どうもありがとうございました。
大変試験の役にたちました。
また、教えてください。

回答No.4

nanjamonja

[４]の流れ
△ＡＢＣと△ＡＥＦは相似な二等辺三角形
またＢＣとＥＦが平行なのと接弦定理で
△ＢＣＤ∽△ＣＤＦ∽△ＢＥＤ
対応する辺の比でＦＤ：ＤＥ＝1：4
ＣＧ＝１２／５

回答No.3

nanjamonja

[３]の流れ
(１)重心の高さはもとの三角錐の１／３倍
正方形ＰＱＲＳの一辺の長さは正方形ＢＣＤＥの
一辺の長さの（1/2）*√2*（2/3）＝√2/3
よって底面積は４／９倍
体積は底面積と高さに比例するので
（１／３）*（４／９）＝４／２７倍

(２)△ＡＢＣと△ＡＣＤを折って同一平面上にすると
線分ＰＤが最短
△ＡＰＤは∠ＡＤＰ＝30°の直角三角形
ＰＤ＝ＡＤ*（２／√３）＝４√３

回答No.2

nanjamonja

[２]の解答
⌒ＡＣ＝⌒ＢＤ より⌒ＡＢ＝⌒ＣＤでＡＢ＝ＣＤ
よって△ＡＢＥ≡△ＣＤＥでＡＥ＝ＤＥ
よって△ＡＯＥ≡△ＤＯＥ（三辺が等しい）
∠ＯＥＨ＝∠ＯＥＫより△ＯＥＨ≡△ＯＥＫ

また四角形ＯＨＥＫは円に内接するので
∠ＨＯＫ＝180°―130°＝50°
∠ＥＨＫ＝∠ＥＯＫ＝25°
∠ＯＨＫ＝90°―25°＝65°
直線ＯＥにかんしてＢ,Ｈ,ＡとＣ,Ｋ,Ｄが対称であること
を使えばもっと簡単に出来ます。