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中3の数学です。

平行四辺形ABCDの頂点Aを通る直線が線分BD、BCおよび辺DCの延長と交わる点を、それぞれP、Q、Rとする。 このとき、線分の比がBP:PDと等しい線分の組を見つけることで AP^2=PQ×PR が成り立っことを証明さなさい。 解答よろしくお願いします(`・ω・')

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回答No.2

おもしろい問題ですね! 千葉県にある市川高校で出そうな問題です!(笑) まず、AP^2=PQ×PRは、内項・外項の法則の逆を使うとAP:PQ=PR:APと変えることが出来ます。証明するのでこの場合は相似を使う! 証明 三角形APDと三角形QPRにおいて ∠ADP=∠QBP(平行線の錯角)・・・(1) ∠PAD=∠PQB(平行線の錯角)・・・(2) (1)と(2)から、2組の角がそれぞれ等しいため 三角形APD∽三角形QPR・・・(3) 三角形APBと三角形RPDも(3)の証明と同様に相似である・・・(4) (3)より、相似な三角形の対応する辺の比はすべて等しいのでAP:QP=DP:BP・・・(5) (4)より、相似な三角形の対応する辺の比はすべて等しいのでDP:BP=RP:АP・・・(6) (5)と(6)より、DP:BPが共通してあるのでAP:QP=RP:АPとできる。 よって、AP:QP=RP:АPを内項・外項の積を用いるとAP^2=PQ×PRとなる。 したがって、成り立つ!!! 以上! 理解できましたか!? ほかにも、類似問題を解くとより身につくと思います!

その他の回答 (1)

  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2965)
回答No.1

詳細は省略しますが、△PDAとPBQは相似なので、AP:PQ=PD:BP また、△ABPとRDPも相似なのでPR:AP=PD:BP 以上よりAP:PQ=PR:AP 内項の積と外項の積は等しいのでAP^2=PQ*PR

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