中3 数学

質問

写真の図のように半径３の円が平行四辺形ＡＢＣＤの内にあり辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡとそれぞれ点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓで接している次の問いに答えなさい。だだし円周率をπとする。

(1)∠ＡＢＣ＝４５゜のとき
　辺ＡＢの長さを求めなさい。

(2)(1)のとき弧ＰＱの点ＳＲを
　 含まない方の長さを求めなさい。

(3)∠ＡＢＣ＝６０゜のとき
　 平行四辺形ＡＢＣＤの面積を
　 求めなさい。

(4)(3)のとき図の斜面の部分の
　面積を求めなさい。

回答No.2

nattocurry

円の中心Oから、P、Q、R、S、に直線(半径)を描き、分かっている長さと角度をすべて書き込む。

そうすれば、何かが見えてくる、、、かも。

頭の中だけで考えて、すぐに答えが出ないから、誰かに聞く、というのを繰り返していては、解るようにはなりませんよ。

回答No.1

gohtraw

（１）円の中心（Ｏとします）とＰ，Ｑ，Ｒ，Ｓを結びます。ＯＰとＤＡを延長してその交点をＥとすると、△ＯＳＥは三つの角が９０°、４５°、４５°の直角二等辺三角形です。従ってＯＳ＝ＳＥ＝３です。また、三角形ＡＰＳも三つの角が９０°、４５°、４５°の直角二等辺三角形です。従ってＡＰ＝ＰＥです。この長さをｘとします。△ＯＳＥに三平方の定理を使うとＯＥ＝√（３＾２＋３＾２）＝３√２となりますが、これは円の半径＋ｘと等しくなります。よってｘ＝３√２－３です。
　次に△ＯＡＳとＢＯＰを比べると、三つの角が等しいので両者は相似です。ＢＰの長さをｙとすると、
ｙ：ＯＰ＝ＯＳ：ＳＡ、つまりｙ：３＝３：３√２－３なのでｙ＝９／（３√２－３）＝３√２＋３です。
　以上よりＡＢの長さはｘ＋ｙなので６√２になります。

（２）四角形ＯＰＢＱは、∠ＰＢＱ＝４５°、∠ＯＰＢ＝∠ＯＱＢ＝９０°なので∠ＰＯＱ＝１３５°です。

（３）角度が変わるだけで、（１）と同じやり方でＡＳ（ＡＰ，ＣＱ、ＣＲも同じ）、ＳＤ（ＤＲ、ＱＢ、ＢＰも同じ）の長さが判ります。詳細は省略しますがこの平行四辺形はひし形になります。よってこの平行四辺形の面積は△ＯＳＡの４倍と△ＯＳＤの４倍を加えたものになります。

（４）四角形ＯＰＢＱ、つまり△ＯＢＱの二倍から扇形を引けば斜線の部分です。