中学の一次関数と平行四辺形の問題です

質問

こちらの問題が見にくいため、問題を記載します。
大変見にくくて申し訳ありません。

一次関数と平行四辺形の問題です。

図で、Ｏは原点、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形で、Ｅは辺ＡＢとＸ軸との交点である。
３点Ａ，Ｄ，Ｅの座標がそれぞれ（－２、８）、（８、１０）、（－６、０）で、平行四辺形ＡＢＣＤの面積が１０８平方センチメートルのとき、次の問に答えなさい。

(1)直線ＡＢの式をもとめなさい。

(2)点Ｂの座標を求めなさい。

以上です。
急ぎなのですが、もしおわかりになる方がいらっしゃいましたらよろしくお願いします。

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回答No.3

noname#223095 · ベストアンサー

高校数学を使えば簡単ですが，「中学数学の範囲で解け」と言われたらやりたくない問題です．一応，解いてみました．もっと巧い解法があるかも知れませんが．

(1)
まったく問題ないと思います．「直線ABの式を・・・」と言っていますが，直線AEの式を求めればよい訳で，途中計算は不要でしょう．結果は，

　　　　　y=2x+12・・・(1)

です．

(2)
Dを通り直線ABに垂直な直線をLで表すことにすると，垂直条件「傾きの積が-1」から，Lの傾きは-1/2. (これは知っていないといけない内容ですが，ご存じないようでしたらおっしゃって下さい)．これとD(8, 10)を通ることから，Lの式は，

　　　　　L：y=-1/2(x-8)+10，すなわち y=-1/2x+14・・・(2)

になります．
Dから(1)に下した垂線の足をHとすると，Hの座標は(1)と(2)を連立することで得られます．連立方程式を解くことで，

　　　　　H(4/5, 68/5)

が得られると思います．

次に，DとHの距離をはかります．つまりDから(1)に下した垂線の長さの計算です．図形的に表現するなら三平方の定理を使うということになります．やってみると意外と簡単になって，

　　　　　DH=18/√5・・・(3)

になると思います．ここで，分母の√5は，平方根5を表しています．念のため．ここで，DHは，平行四辺形ABCDのABを底辺と考えたときの高さになります．

次に，Bが(1)上にあることより，Bの座標はB(t, 2t+12)と表せます．これとAの距離を求めるためにABの二乗をひとまず計算します．

　　　　　AB^2＝(t+2)^2+(2t+4)^2
　　　　　　　　=5(t+2)^2

となります．ここで^2とは二乗を表す記号です．例えば，5^2＝25です(念のため)．

従って，

　　　　　AB=√5｜t+2｜　　(｜ ｜は絶対値を表す記号です．(例えば ｜-3｜=3)
　　　　　　 =-√5(t+2)　　(なぜなら，明らかにt<-2だから)
これと(3)とから，

　　　　　平行四辺形の面積=-√5(t+2) ・18/√5
　　　　　　　　　　　　　=-18 (t+2)

これが108に等しいことから

　　　　　-18 (t+2)=108　これより　t=-8

よって，

　　　　　B(-8, -4)

となります．

中学数学で解くのは疲れますね・・・．参考になりましたら．

お礼

ありがとうございます。高校数学では簡単にとける方法があるんですね。助かりました。ありがとうございました。

回答No.2

shintaro-2

>（２）の直線ＡＤに垂直で点Ａを通る直線の式はどのようにもとめたらいいのでしょうか。

y=ax+cに垂直な直線は
y=(-1/a)ｘ+dです。

ｘの係数をかけ合わせて-1になることが条件です。

このような基本的なことがわからない場合は、
例えばテスト中でもｙ＝2ｘ、y=4xとかを図に描いて、垂直な直線の傾きを考えると
規則性をすぐに理解できます。

>ＡＤは三平方の定理で求めたらいいでしょうか。

そうです。

お礼

ご返信ありがとうございます。垂直な直線の求め方もわかりました。ありがとうございました。

回答No.1

gohtraw

（１）
直線ABは点AとEを通るので、その式は直線ＡＥの式と同じです。
直線ＡＢの式を　ｙ＝ａｘ＋ｂとおき、（ｘ、ｙ）に（－２，８）と（－６，０）を
それぞれ代入した二つの式を連立させればＯＫです。
（２）
手順は下記かな。
直線ＡＤの式を求める
その結果から、直線ＡＤに垂直で点Ａを通る直線の式を求める　・・・（あ）
辺ＡＤの長さとＡＢＣＤの面積を用い、点Ａから辺ＢＣに下した垂線の長さを求める・・・（い）
（あ）の直線上にあり、点Ａからの距離が（い）に等しい点を求める・・・（う）
（う）の点を通り、ＡＤに平行な直線の式を求める・・・（え）
直線ＡＢと（え）の交点を求める

お礼

gohtraw様。ご回答ありがとうございました。解き方は納得できました。ありがとうございました。

補足

ご回答ありがとうございます。
（２）の直線ＡＤに垂直で点Ａを通る直線の式はどのようにもとめたらいいのでしょうか。お手数ですが、教えていただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。
ＡＤは三平方の定理で求めたらいいでしょうか。

重ね重ねすみません。
よろしくお願いします。