平行四辺形の問題がわかりません

質問

平行四辺形ABCDがある。AB=AE=ECとなるような点EをBC上にとる。
AEの中点をFとする。∠BAE＝40°とする
（１）∠AEDを求めよ
（２）三角形DFEの面積をSとしたとき、平行四辺形ABCDをSを使った式で表せ。

AB=AEだから△ABEは二等辺三角形　よって∠ABE＝∠AEB＝70
平行四辺形だから∠ABE＝∠ADC＝70、∠BAD＝∠BCD＝110
∠BAD＝110－40＝70　よって四角形AECDは台形になる・・・あれ？

ここで詰まってしまいました。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

himajin100000 · ベストアンサー

単位省略。

(1)
仮定より
∠ABC = ∠ADC
また、
AD//BC
錯角等しく
∠EAD = ∠AEB = (180 - 40)/2 = 70・・・・式1
∠EDA = ∠CED・・・式2

また、
AB = CD
AB = AE = ECより
EC = CDでΔECDは二等辺三角形だから
∠CED = ∠ EDC = ∠ EDA・・・式3

式2,式3より
∠ADC = ∠EDA + ∠CED = 2∠EDA

ところで、仮定より
AB = AEだからΔABEは二等辺三角形で
∠ABE = ∠AEB・・・式3

式1,式3より
∠ABC = ∠ABE = 70

平行四辺形なので対角等しく
∠ABC = ∠ADC = 2∠EDA = 70
よって∠EDA = 35・・・式4

ΔADEについて注目すると

∠EAD + ∠EDA + ∠AED = 180
式1,式4から
70 + 35 + ∠AED = 180
よって
∠AED = 180 - 70 - 35 = 75

(2) 底辺と高さが等しければ三角形の面積等しいから
ΔDFE = ΔAFE = S
ΔΔDFE + ΔAFE = 2S は平行四辺形の面積の半分だから
平行四辺形の面積は4S

お礼

AB = CD
AB = AE = ECより
EC = CDでΔECDは二等辺三角形だから
∠CED = ∠ EDC = ∠ EDA
この部分がうっかりしてました。
ありがとうございます。

回答No.1

Ichitsubo

補助線を考えるだけでものすごく楽になりますよ。
(1)線分AC→△CEDを考える
(2)辺CDの中点となるGに対し、線分AG→△AGCを考える