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中学数学 平行四辺形の問題です

図が見にくいので、文字で入力をさせていただきます。 図で、四角形ABCDは平行四辺形、Eは、角ABCの二等分線と辺ADとの交点である。また、Fは辺CBの延長線上の点、Gは辺CD上の点で、△AFBと△EBGの面積は等しい。 AB=8cm、FB=5cm、BC=10cmのとき、次の(1)と(2)に答えなさい。 (1)線分EDの長さは何センチか答えなさい。 (2)△EGDの面積は、平行四辺形ABCDの面積の何倍か、求めなさい。 以上です。 急ぎなのですが、大変恐縮ですが、お分かりになる方がいらっしゃいましたら よろしくお願いいたします。

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(2)です。 2つの三角形の面積の比は、 「 底辺の長さ 」 が等しいときは、《 高さ 》 の比 になり、 「 高さ 」 が等しいときは、《 底辺の長さ 》 の比 になります。 平行四辺形ABCDの面積を S とします。 BDは対角線だから、 三角形ABDの面積は、平行四辺形ABCDの面積の 半分 です。 つまり、 △ABD=(1/2)S ・・・・・・(1) になります。 次に、 △ABE と △ABD ですが、 底辺を AE、AD にして考えると、高さはどちらも Bから直線ADに引いた垂線の長さになります。 つまり、高さが等しいことになります。 だから、2つの三角形の面積の比は 底辺の長さ の比になります。 よって、 △ABE=(8/10)△ABD (1) を代入して =(4/5)×(1/2)S =(2/5)S ・・・・・・(2) 次に、 三角形ABCは平行四辺形のABCDの面積の半分だから △ABC=(1/2)S 三角形AFB と 三角形ABC で、 底辺を FB、BC にして考えると、 高さが等しいから(底辺の長さの比になります。) △AFB=(5/10)△ABC =(5/10)×(1/2)S =(1/4)S ・・・・・・(3) 三角形AFB と 三角形EBG の面積が等しいから △EBG=(1/4)S ・・・・・・(4) 次に、 DG=t、GC=8-t とおくと、 三角形AGD 三角形ACD で、 底辺を AD にして考えると、 底辺の長さが等しいから、高さの比になります。 高さの比は、 G、Cからそれぞれ直線ADに引いた垂線の長さになりますが、 この比は、直接わからないにので、 代わりになるものが、 GDの長さ と CD の長さです。 だから、 △AGD=(t/8)△ACD =(t/8)×(1/2)S =(t/16)S 三角形EGD と 三角形AGD は底辺をED、ADにして考えると、 高さが等しい(Gから辺ADに引いた垂線の長さ)から、 底辺の長さの比になります。 だから、 △EGD=(2/10)△AGD =(1/5)×(t/16)S =(t/80)S ・・・・・・(5) 上のような説明は省きます。 CG:GD=(8-t):t より △BCG={(8-t)/8}△BCD ={(8-t)/8}×(1/2)S ={(8-t)/16}S ・・・・・・(6) したがって、 平行四辺形ABCDの面積S=△ABE+△EBG+△EGD+△BCG (2)、(4)、(5)、(6)を代入して、 S=(2/5)S+(1/4)S+(t/80)S+{(8-t)/16}S 両辺に 80 をかけて、 80S=32S+20S+tS+5(8-t)S 80S=32S+20S+tS+40S-5tS 4tS=12S t=3 したがって、(5)に代入して、 △EGD=(3/80)S (答) (3/80)倍 となります。 DG=t とおくことによって、 t の方程式が作れます。

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  • 回答No.4
  • bran111
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(1)AD//BC ∠AEB=∠EBC=(1/2)∠ABC=∠ABE ゆえに⊿ABEは2等辺三角形となりAE=AB=8 ED=10-8=2(cm) (2) まず、正弦定理よりBE,BGを求める。 ∠ABC=b, ∠BAC=aとするとa+b=π a=π-bよりsina=sinb ⊿ABEにおいて BE/sina=AB/sin(b/2) ⇒ BE=8sina/sin(b/2)=8sinb/sin(b/2) 倍角公式よりsinb=2sin(b/2)cos(b/2) ⇒ BE=16cos(b/2) ⊿BCGにおいて ∠EBG=cとすると ∠CBG=b/2-c ∠BCG=a=π-b ∠BGC=π-(b/2-c)-(π-b)=b/2+c BG/sin(π-b)=10/sin(b/2+c) ⇒ BG=10sinb/sin(b/2+c) (1) 条件⊿EBG=⊿AFBより ⊿EBG=BE・BG・sinc/2=16cos(b/2)・10sinb/sin(b/2+c)・sinc/2 =80cos(b/2)sinbsinc/sin(b/2+c) =⊿AFB=5・8・sin(π-b)/2=20sinb ⇒ 4cos(b/2)sinc=sin(b/2+c) 加法定理より 4cos(b/2)sinc=sin(b/2+c)=sin(b/2)cosc+cos(b/2)sinc  ⇒ 3cos(b/2)sinc=sin(b/2)cosc ⇒ tanc=(1/3)tan(b/2) (2) ⊿EGD=平行四辺形ABCD-⊿ABE-⊿EBG-⊿GBC (3) 平行四辺形ABCD=8・10・sinb=80sinb (4) ⊿ABE=AB・ACsina/2=8・8・sinb/2=32sinb (5) ⊿EBG=⊿AFB=20sinb (6) ⊿GBC=BG・BC・sin(b/2-c)/2=10sinb/sin(b/2+c)・10・sin(b/2-c)/2 =50sinbsin(b/2-c)/sin(b/2+c) sin(b/2-c)/sin(b/2+c)を以下に求める。 sin(b/2-c)/sin(b/2+c)=[sin(b/2)cosc-cos(b/2)sinc]/[sin(b/2)cosc+cos(b/2)sinc] =[sin(b/2)-cos(b/2)tanc]/[sin(b/2)+cos(b/2)tanc] =[sin(b/2)-cos(b/2)(1/3)tan(b/2)]/[sin(b/2)+cos(b/2)(1/3)tan(b/2)] ((2)を使用) =[sin(b/2)-(1/3)sin(b/2)]/[sin(b/2)+(1/3)sin(b/2)] =[(2/3)sin(b/2)]/[(4/3)sin(b/2)]=1/2 以上から ⊿GBC=50sinbsin(b/2-c)/sin(b/2+c)=25sinb (7) (4)~(7)を(3)に代入 ⊿EGD=平行四辺形ABCD-⊿ABE-⊿EBG-⊿GBC =80sinb -32sinb-20sinb-25sinb=3sinb ⊿EGD/平行四辺形ABCD=3sinb/80sinb=3/80

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  • 回答No.3

>(2)△EGDの面積は、平行四辺形ABCDの面積の何倍か、求めなさい。 点Eから辺BCに向かって辺CDに平行な線を引きます。 BCとの交点をJとします。 その時、EJとGBとの交点をKします。 △AFBと△EBGの面積が等しいことから、EK(つまりJK)の長さを求めることが可能です。 そうすると、BKを延長したところがGなのでCG(つまりDG)の長さを求めることが可能となります。 後は、三角形の高さをhとでもして各片の比を使ってじっくり計算してみてください。

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  • 回答No.1

時間が無いので簡単なところだけ >1)線分EDの長さは何センチか答えなさい。 角AEBはどこと等しいでしょう? その場合、△ABEはどのような三角形でしょう?

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