中学数学 平行四辺形の問題です

質問

図が見にくいので、文字で入力をさせていただきます。

図で、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形、Ｅは、角ＡＢＣの二等分線と辺ＡＤとの交点である。また、Ｆは辺ＣＢの延長線上の点、Ｇは辺ＣＤ上の点で、△ＡＦＢと△ＥＢＧの面積は等しい。
ＡＢ＝８cm、ＦＢ＝５cm、ＢＣ＝１０cmのとき、次の(1)と(2)に答えなさい。

(1)線分ＥＤの長さは何センチか答えなさい。

(2)△ＥＧＤの面積は、平行四辺形ＡＢＣＤの面積の何倍か、求めなさい。

以上です。
急ぎなのですが、大変恐縮ですが、お分かりになる方がいらっしゃいましたら
よろしくお願いいたします。

この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。

回答No.2

atkh404185 · ベストアンサー

（２）です。

２つの三角形の面積の比は、

「 底辺の長さ 」 が等しいときは、《 高さ 》 の比

になり、

「 高さ 」 が等しいときは、《 底辺の長さ 》 の比

になります。

平行四辺形ＡＢＣＤの面積を Ｓ とします。

ＢＤは対角線だから、
三角形ＡＢＤの面積は、平行四辺形ＡＢＣＤの面積の 半分 です。
つまり、
△ＡＢＤ＝(1/2)Ｓ ・・・・・・(1)
になります。
次に、
△ＡＢＥ と △ＡＢＤ ですが、
底辺を ＡＥ、ＡＤ にして考えると、高さはどちらも
Ｂから直線ＡＤに引いた垂線の長さになります。
つまり、高さが等しいことになります。
だから、２つの三角形の面積の比は 底辺の長さ の比になります。
よって、
△ＡＢＥ＝(8/10)△ＡＢＤ
(1) を代入して
＝(4/5)×(1/2)Ｓ
＝(2/5)Ｓ ・・・・・・(2)

次に、
三角形ＡＢＣは平行四辺形のＡＢＣＤの面積の半分だから
△ＡＢＣ＝(1/2)Ｓ
三角形ＡＦＢ と 三角形ＡＢＣ で、
底辺を ＦＢ、ＢＣ にして考えると、
高さが等しいから（底辺の長さの比になります。）
△ＡＦＢ＝(5/10)△ＡＢＣ
＝（5/10)×(1/2)Ｓ
＝(1/4)Ｓ ・・・・・・(3)

三角形ＡＦＢ と 三角形ＥＢＧ の面積が等しいから
△ＥＢＧ＝(1/4)Ｓ ・・・・・・(4)

次に、
ＤＧ＝t、ＧＣ＝8-t
とおくと、
三角形ＡＧＤ 三角形ＡＣＤ で、
底辺を ＡＤ にして考えると、
底辺の長さが等しいから、高さの比になります。
高さの比は、
Ｇ、Ｃからそれぞれ直線ＡＤに引いた垂線の長さになりますが、
この比は、直接わからないにので、
代わりになるものが、
ＧＤの長さ と ＣＤ の長さです。

だから、
△ＡＧＤ＝(t/8)△ＡＣＤ
＝(t/8)×(1/2)Ｓ
＝(t/16)Ｓ
三角形ＥＧＤ と 三角形ＡＧＤ は底辺をＥＤ、ＡＤにして考えると、
高さが等しい（Ｇから辺ＡＤに引いた垂線の長さ）から、
底辺の長さの比になります。
だから、
△ＥＧＤ＝(2/10)△ＡＧＤ
＝(1/5)×(t/16)Ｓ
＝(t/80)Ｓ ・・・・・・(5)

上のような説明は省きます。

ＣＧ：ＧＤ＝(8-t)：t より
△ＢＣＧ＝{(8-t)/8}△ＢＣＤ
＝{(8-t)/8}×(1/2)Ｓ
＝{(8-t)/16}Ｓ ・・・・・・(6)

したがって、
平行四辺形ＡＢＣＤの面積Ｓ＝△ＡＢＥ+△ＥＢＧ+△ＥＧＤ+△ＢＣＧ
(2)、(4)、(5)、(6)を代入して、
Ｓ＝(2/5)Ｓ+(1/4)Ｓ+(t/80)Ｓ+{(8-t)/16}Ｓ
両辺に 80 をかけて、
80Ｓ＝32Ｓ+20Ｓ+tＳ+5(8-t)Ｓ
80Ｓ＝32Ｓ+20Ｓ+tＳ+40Ｓ-5tＳ
4tＳ＝12Ｓ
t＝3

したがって、(5)に代入して、
△ＥＧＤ＝(3/80)Ｓ

(答) (3/80)倍

となります。

ＤＧ＝t とおくことによって、 t の方程式が作れます。

回答No.4

bran111

(1)AD//BC
∠AEB=∠EBC=(1/2)∠ABC=∠ABE
ゆえに⊿ABEは２等辺三角形となりAE=AB=8
ED=10-8=2(cm)

(2)
まず、正弦定理よりBE,BGを求める。
∠ABC=b, ∠BAC=aとするとa+b=π
a=π-bよりsina=sinb

⊿ABEにおいて
BE/sina=AB/sin(b/2)　⇒　BE=8sina/sin(b/2)=8sinb/sin(b/2)
倍角公式よりsinb=2sin(b/2)cos(b/2)　⇒　BE=16cos(b/2)

⊿BCGにおいて
∠EBG=cとすると
∠CBG=ｂ/2-ｃ
∠BCG=a＝π-b
∠BGC=π-(b/2-c)-(π-b)=b/2+c
BG/sin(π-b)=10/sin(b/2+c)　⇒　BG=10sinb/sin(b/2+c) (1)

条件⊿EBG=⊿AFBより
⊿EBG＝BE・BG・sinc/2=16cos(b/2)・10sinb/sin(b/2+c)・sinc/2
＝80cos(b/2)sinbsinc/sin(b/2+c)
=⊿AFB=5・8・sin(π-b)/2=20sinb　⇒　4cos(b/2)sinc=sin(b/2+c)
加法定理より
4cos(b/2)sinc=sin(b/2+c)＝sin(b/2)cosc+cos(b/2)sinc
　⇒　3cos(b/2)sinc=sin(b/2)cosc　⇒　tanc=(1/3)tan(b/2) (2)

⊿EGD=平行四辺形ABCD-⊿ABE-⊿EBG-⊿GBC (3)
平行四辺形ABCD=8・10・sinb=80sinb (4)
⊿ABE=AB・ACsina/2=８・8・sinb/2=32sinb (5)
⊿EBG=⊿AFB=20sinb (6)
⊿GBC=BG・BC・sin(b/2-c)/2=10sinb/sin(b/2+c)・10・sin(b/2-c)/2
＝50sinbsin(b/2-c)/sin(b/2+c)
sin(b/2-c)/sin(b/2+c)を以下に求める。
sin(b/2-c)/sin(b/2+c)=[sin(b/2)cosc-cos(b/2)sinc]/[sin(b/2)cosc+cos(b/2)sinc]
=[sin(b/2)-cos(b/2)tanc]/[sin(b/2)+cos(b/2)tanc]
=[sin(b/2)-cos(b/2)(1/3)tan(b/2)]/[sin(b/2)+cos(b/2)(1/3)tan(b/2)]
((2)を使用）
=[sin(b/2)-(1/3)sin(b/2)]/[sin(b/2)+(1/3)sin(b/2)]
=[(2/3)sin(b/2)]/[(4/3)sin(b/2)]=1/2
以上から
⊿GBC＝50sinbsin(b/2-c)/sin(b/2+c)=25sinb (7)

(4)~(7)を(3)に代入
⊿EGD=平行四辺形ABCD-⊿ABE-⊿EBG-⊿GBC
＝80sinb -32sinb-20sinb-25sinb=3sinb

⊿EGD/平行四辺形ABCD=3sinb/80sinb=3/80

回答No.3

shintaro-2

>(2)△ＥＧＤの面積は、平行四辺形ＡＢＣＤの面積の何倍か、求めなさい。

点Eから辺BCに向かって辺CDに平行な線を引きます。
BCとの交点をJとします。
その時、EJとGBとの交点をKします。
△ＡＦＢと△ＥＢＧの面積が等しいことから、EK（つまりJK）の長さを求めることが可能です。
そうすると、BKを延長したところがGなのでCG(つまりDG)の長さを求めることが可能となります。

後は、三角形の高さをｈとでもして各片の比を使ってじっくり計算してみてください。

回答No.1

shintaro-2

時間が無いので簡単なところだけ

>1)線分ＥＤの長さは何センチか答えなさい。

角AEBはどこと等しいでしょう？
その場合、△ABEはどのような三角形でしょう？