平行四辺形の面積

質問

平行四辺形ABCDがある。辺AD、BC上にAE:ED=CF:FB=1：3となる点E、Fをとる。線分EFと対角線BDとの交点をGとする。
平行四辺形ABCDの面積は、四角形ABGEの面積の何倍ですか？
という問題です。

わからなかったので解答を見たら次のように書いてありました。
四角形ABGE＝△ABG＋△AGE＝1／4(平行四辺形ABCD)＋1／4×1／4(平行四辺形ABCD)
＝5／16(平行四辺形ABCD)
となっていました。
四角形ABGE＝△ABG＋△AGEまではわかるのですが、それ以降の式がわかりません。
すいませんが詳しい解説をお願いします。
どうして、1／4(平行四辺形ABCD)＋1／4×1／4(平行四辺形ABCD)の式が出てきたのですか？

回答No.3

debut · ベストアンサー

＞△ABG=△CDG=△ADG=△BCGとなることですか？もしなるとしたら、
＞どうしてですか？

　平行四辺形では、２本の対角線によって分けられた４つの三角形の面積
は等しくなります。
なぜかというと、図をかいて例えば△ＡＢＧと△ＡＤＧを見てください。
対角線はおのおのの中点で交わるので、ＢＧ＝ＤＧです。これらの辺を
それぞれの三角形の底辺とみると、もう一つの頂点Ａはどちらの三角形
にも共通していますよね。ということは、高さに相当する部分（Ａから
底辺に引いた垂線）は同じものになります。つまり、△ＡＢＧと△ＡＤＧ
は、底辺が等しく高さも等しいので面積が等しいことになります。
他の三角形の組み合わせでも同様で、結局、△ABG=△CDG=△ADG=△BCG
となります。

この問題を解く場合、こういった方法もあるということで次に書いてみます。
（１）△ＡＧＥの面積を１とする
（２）ＡＥ：ＥＤ＝１：３より△ＤＥＧは３になる
（３）△ＡＢＧ＝△ＡＤＧと、上の(１)，(２)から、△ＡＢＧ＝△ＡＤＧ＝４
（４）△ＡＢＤ＝△ＡＢＧ＋△ＡＤＧ＝８
（５）平行四辺形は（４）より１６
（６）四角形ＡＢＧＥは(１)、(３)より５
（７）よって、四角形ＡＢＧＥは　平行四辺形ＡＢＣＤの　5/16倍

お礼

ありがとうございます。すごくわかりました。問題の解答のとき方までありがとうございます。

回答No.2

roddick246

△ABDは平行四辺形の面積の1/2になります。図を書けばよくわかると思いますが、線分EFは対角線AC、BDと同じ1点を通ります。よってAGは対角線ACの一部分なので△ABGは△ABDの面積の1/2になります。なので△ABGは平行四辺形ABCDの1/4になります。
また、△AGDに着目すると△AGEは△AGDの1/4になることが分かります。△AGDは平行四辺形ABCDの1/4になるので△AGEは平行四辺形ABCDの面積の1/16になります。四角形ABGE＝△ABG＋△AGEなので
1/4＋1/16＝5/16となります。
数学は図が結構重要だと思います。フリーハンドでも結構綺麗に書けるようにしとくといいでしょう。

補足

平行四辺形ABCDの1/4となることは、
平行四辺形ABCDの対角線AC,BDを引き、その交点をGとしたとき、△ABG=△CDG、△ADG=△BCGの面積は同じですよね。さらに、△ABG=△CDG=△ADG=△BCGとなることですか？もしなるとしたら、どうしてですか？

回答No.1

mittsuna-

解答には少し疑問を感じますが、解説します。

　△ＡＢＧについてですが、ＢＤは対角線で、ＥＦは対辺を同じ比にとった線分です。すると、ＢＤとＥＦの交点は対角線の交点と一致します。これは、平行四辺形の性質から導かれるものです。落ち着いて考えるとわかると思います。つまり、Ｇは対角線の交点でもあるのです。ですので、△ＡＢＧ＝１／２△ＡＢＤ＝１／４平行四辺形ＡＢＣＤとなります。
　次に、△ＡＢＥは、上と同様な考え方で、△ＡＧＤ＝１／４平行四辺形ＡＢＣＤとなり、ＡＥ：ＥＤ＝１：３で底辺の比を考えると△ＡＧＥ＝１／４△ＡＧＤ＝１／８平行四辺形ＡＢＣＤとなります。後は、この二つの足し算です。

　蛇足ながら、私なりの考えを載せたいと思います。
　まず、補助線ＡＣを引きます。四角形ＡＢＧＥ＝△ＡＢＤ－△ＤＥＧです。あとは、△ＥＤＧと△ＡＢＤが平行四辺形ＡＢＣＤのどれくらいかを求めて考えればよいと思います。
　とりあえず、補助線ＡＣを引くことが大切です。