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平行四辺形の面積

平行四辺形ABCDがある。辺AD、BC上にAE:ED=CF:FB=1:3となる点E、Fをとる。線分EFと対角線BDとの交点をGとする。 平行四辺形ABCDの面積は、四角形ABGEの面積の何倍ですか? という問題です。 わからなかったので解答を見たら次のように書いてありました。 四角形ABGE=△ABG+△AGE=1/4(平行四辺形ABCD)+1/4×1/4(平行四辺形ABCD) =5/16(平行四辺形ABCD) となっていました。 四角形ABGE=△ABG+△AGEまではわかるのですが、それ以降の式がわかりません。 すいませんが詳しい解説をお願いします。 どうして、1/4(平行四辺形ABCD)+1/4×1/4(平行四辺形ABCD)の式が出てきたのですか?

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>△ABG=△CDG=△ADG=△BCGとなることですか?もしなるとしたら、 >どうしてですか?  平行四辺形では、2本の対角線によって分けられた4つの三角形の面積 は等しくなります。 なぜかというと、図をかいて例えば△ABGと△ADGを見てください。 対角線はおのおのの中点で交わるので、BG=DGです。これらの辺を それぞれの三角形の底辺とみると、もう一つの頂点Aはどちらの三角形 にも共通していますよね。ということは、高さに相当する部分(Aから 底辺に引いた垂線)は同じものになります。つまり、△ABGと△ADG は、底辺が等しく高さも等しいので面積が等しいことになります。 他の三角形の組み合わせでも同様で、結局、△ABG=△CDG=△ADG=△BCG となります。 この問題を解く場合、こういった方法もあるということで次に書いてみます。 (1)△AGEの面積を1とする (2)AE:ED=1:3より△DEGは3になる (3)△ABG=△ADGと、上の(1),(2)から、△ABG=△ADG=4 (4)△ABD=△ABG+△ADG=8 (5)平行四辺形は(4)より16 (6)四角形ABGEは(1)、(3)より5 (7)よって、四角形ABGEは 平行四辺形ABCDの 5/16倍

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質問者からのお礼

ありがとうございます。すごくわかりました。問題の解答のとき方までありがとうございます。

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  • 回答No.2

△ABDは平行四辺形の面積の1/2になります。図を書けばよくわかると思いますが、線分EFは対角線AC、BDと同じ1点を通ります。よってAGは対角線ACの一部分なので△ABGは△ABDの面積の1/2になります。なので△ABGは平行四辺形ABCDの1/4になります。 また、△AGDに着目すると△AGEは△AGDの1/4になることが分かります。△AGDは平行四辺形ABCDの1/4になるので△AGEは平行四辺形ABCDの面積の1/16になります。四角形ABGE=△ABG+△AGEなので 1/4+1/16=5/16となります。 数学は図が結構重要だと思います。フリーハンドでも結構綺麗に書けるようにしとくといいでしょう。

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質問者からの補足

平行四辺形ABCDの1/4となることは、 平行四辺形ABCDの対角線AC,BDを引き、その交点をGとしたとき、△ABG=△CDG、△ADG=△BCGの面積は同じですよね。さらに、△ABG=△CDG=△ADG=△BCGとなることですか?もしなるとしたら、どうしてですか?

  • 回答No.1

 解答には少し疑問を感じますが、解説します。  △ABGについてですが、BDは対角線で、EFは対辺を同じ比にとった線分です。すると、BDとEFの交点は対角線の交点と一致します。これは、平行四辺形の性質から導かれるものです。落ち着いて考えるとわかると思います。つまり、Gは対角線の交点でもあるのです。ですので、△ABG=1/2△ABD=1/4平行四辺形ABCDとなります。  次に、△ABEは、上と同様な考え方で、△AGD=1/4平行四辺形ABCDとなり、AE:ED=1:3で底辺の比を考えると△AGE=1/4△AGD=1/8平行四辺形ABCDとなります。後は、この二つの足し算です。  蛇足ながら、私なりの考えを載せたいと思います。  まず、補助線ACを引きます。四角形ABGE=△ABD-△DEGです。あとは、△EDGと△ABDが平行四辺形ABCDのどれくらいかを求めて考えればよいと思います。  とりあえず、補助線ACを引くことが大切です。

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