• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

平行四辺形の面積

平行四辺形ABCDがある。辺AD、BC上にAE:ED=CF:FB=1:3となる点E、Fをとる。線分EFと対角線BDとの交点をGとする。 平行四辺形ABCDの面積は、四角形ABGEの面積の何倍ですか? という問題です。 わからなかったので解答を見たら次のように書いてありました。 四角形ABGE=△ABG+△AGE=1/4(平行四辺形ABCD)+1/4×1/4(平行四辺形ABCD) =5/16(平行四辺形ABCD) となっていました。 四角形ABGE=△ABG+△AGEまではわかるのですが、それ以降の式がわかりません。 すいませんが詳しい解説をお願いします。 どうして、1/4(平行四辺形ABCD)+1/4×1/4(平行四辺形ABCD)の式が出てきたのですか?

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数3
  • 閲覧数885
  • ありがとう数1

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3
  • debut
  • ベストアンサー率56% (913/1604)

>△ABG=△CDG=△ADG=△BCGとなることですか?もしなるとしたら、 >どうしてですか?  平行四辺形では、2本の対角線によって分けられた4つの三角形の面積 は等しくなります。 なぜかというと、図をかいて例えば△ABGと△ADGを見てください。 対角線はおのおのの中点で交わるので、BG=DGです。これらの辺を それぞれの三角形の底辺とみると、もう一つの頂点Aはどちらの三角形 にも共通していますよね。ということは、高さに相当する部分(Aから 底辺に引いた垂線)は同じものになります。つまり、△ABGと△ADG は、底辺が等しく高さも等しいので面積が等しいことになります。 他の三角形の組み合わせでも同様で、結局、△ABG=△CDG=△ADG=△BCG となります。 この問題を解く場合、こういった方法もあるということで次に書いてみます。 (1)△AGEの面積を1とする (2)AE:ED=1:3より△DEGは3になる (3)△ABG=△ADGと、上の(1),(2)から、△ABG=△ADG=4 (4)△ABD=△ABG+△ADG=8 (5)平行四辺形は(4)より16 (6)四角形ABGEは(1)、(3)より5 (7)よって、四角形ABGEは 平行四辺形ABCDの 5/16倍

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございます。すごくわかりました。問題の解答のとき方までありがとうございます。

関連するQ&A

  • 平行四辺形の問題です

    前の続きなのですが・・・。 平行四辺形ABCDがあり辺ABを2:3に分ける点E、線分DEと対角線ACの交点をF 対角線ACの中点をGとします。 平行四辺形ABCDの面積は△AEFの面積の何倍ですか? この問題なのですが、中学生レベルでの考え方と答えをお願いします。

  • 平行四辺形の面積比

    四角形abcdは面積30センチ平方キロメートルの平行四辺形であり、点e、fはそれぞれ辺辺cd、ad野中点である。線分aeと線分bfの交点をg、線分aeと線分bdの交点をhとするとき、三角形afgと三角形bghの面積比を求めよ。ただし、小学校で学習する知識で解くこと。 という問題がレポートで出たのですがわかりません

  • 相似を使った平行四辺形の面積

    相似を使った平行四辺形の面積についての質問です。 「平行四辺形ABCDの辺AD上に三等分点E、Fをとり、BとEを結ぶ。対角線ACと線分BEとの交点をP、対角線ACと対角線BDとの交点をOとする。平行四辺形ABCDの面積が48のとき、三角形BOPの面積はいくらか。」 △ABD:△ABE=3:1、△APE:△PBC=1:3までは、相似比で求められたのですが そこから先がよくわからなくなってしまいました。 よろしくお願いします。

その他の回答 (2)

  • 回答No.2

△ABDは平行四辺形の面積の1/2になります。図を書けばよくわかると思いますが、線分EFは対角線AC、BDと同じ1点を通ります。よってAGは対角線ACの一部分なので△ABGは△ABDの面積の1/2になります。なので△ABGは平行四辺形ABCDの1/4になります。 また、△AGDに着目すると△AGEは△AGDの1/4になることが分かります。△AGDは平行四辺形ABCDの1/4になるので△AGEは平行四辺形ABCDの面積の1/16になります。四角形ABGE=△ABG+△AGEなので 1/4+1/16=5/16となります。 数学は図が結構重要だと思います。フリーハンドでも結構綺麗に書けるようにしとくといいでしょう。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

平行四辺形ABCDの1/4となることは、 平行四辺形ABCDの対角線AC,BDを引き、その交点をGとしたとき、△ABG=△CDG、△ADG=△BCGの面積は同じですよね。さらに、△ABG=△CDG=△ADG=△BCGとなることですか?もしなるとしたら、どうしてですか?

  • 回答No.1

 解答には少し疑問を感じますが、解説します。  △ABGについてですが、BDは対角線で、EFは対辺を同じ比にとった線分です。すると、BDとEFの交点は対角線の交点と一致します。これは、平行四辺形の性質から導かれるものです。落ち着いて考えるとわかると思います。つまり、Gは対角線の交点でもあるのです。ですので、△ABG=1/2△ABD=1/4平行四辺形ABCDとなります。  次に、△ABEは、上と同様な考え方で、△AGD=1/4平行四辺形ABCDとなり、AE:ED=1:3で底辺の比を考えると△AGE=1/4△AGD=1/8平行四辺形ABCDとなります。後は、この二つの足し算です。  蛇足ながら、私なりの考えを載せたいと思います。  まず、補助線ACを引きます。四角形ABGE=△ABD-△DEGです。あとは、△EDGと△ABDが平行四辺形ABCDのどれくらいかを求めて考えればよいと思います。  とりあえず、補助線ACを引くことが大切です。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 平行四辺形の問題がわかりません

    平行四辺形ABCDがある。AB=AE=ECとなるような点EをBC上にとる。 AEの中点をFとする。∠BAE=40°とする (1)∠AEDを求めよ (2)三角形DFEの面積をSとしたとき、平行四辺形ABCDをSを使った式で表せ。 AB=AEだから△ABEは二等辺三角形 よって∠ABE=∠AEB=70 平行四辺形だから∠ABE=∠ADC=70、∠BAD=∠BCD=110 ∠BAD=110-40=70 よって四角形AECDは台形になる・・・あれ? ここで詰まってしまいました。 よろしくお願いいたします。

  • 平行四辺形について

    平行四辺形ABCDを対角線BDで折り返し、Aに対応する点をEとし、BCとDEの交点をFとする。また、ABとCEをそれぞれ延長したときの交点をGとする。このとき次の問いを答えなさい。 (1)△FBEと△FDCが合同であるとことを証明しなさい。 これはできたのですが (2)BF:FC=2:1であるとき、△FECの面積と平行四辺形ABCDの面積の比を、もっとも簡単な整数の比で表しなさい。 この問題が分かりませんでした。解答をみると・・・ 考えとしては△FECの面積=1として考えました。 そうすると△BEF=2となりますよね。 ここまでは納得。 次に △BFD=4となり、△DFC=2となり、△BCD=6より平行四辺形ABCD=12となると書いてありました。 この部分の△BFD=4となるところが分かりませんでした。この部分の解説をお願いします。 また、四角形BGCDは平行四辺形になるのですか?もし、平行四辺形になるとしたらどうしてなるのですか?解説をお願いします。

  • 平行四辺形の問題です。

    平行四辺形ABCDがあります。 辺ABを2:3に分ける点E、線分DEと対角形ACの交点をF、ACの中点をGとします。この時次の問いに答えなさい。 (1) AF:FGをもっとも簡単な整数比で答えなさい。 (2) 平行四辺形ABCDの面積は△AEGの面積の何倍ですか?

  • 平行四辺形について

    平行四辺形ABCDの各辺の中点を図のようにE,F,G,Hとし、線分AG,CEと線分BH,DFとの交点をK、M,Nとする。このとき、四角形KLMNの面積は四角形ABCDの面積の何倍か。 面積の図は(頂点は)左上から下、右、に回って A,E,B,F,C,G,D,H 真中の平行四辺形は右から下と言う順でL,M,N,K 全体的にどのように求めるかわからないのですが、 特に、AK=2EL、EL=NG についてどうして成り立つのかがよくわかりません。

  • 平行四辺形の対角線の交点を頂点とする三角形の面積

    中1の数学の問題です。(回答解説をお願いします。) 図において、四角形ABCDは平行四辺形で、ACとBDの交点をOとし、辺AB上でAE:EB=1:2となる点をE、辺AD上でAF:FD=2:1となる点をFとします。また、EOとDC、FOとBCの交点をそれぞれG、Hとします。 (1)四角形EHGFは平行四辺形であることを証明しなさい。 (2)四角形ABCDの面積をSとするとき、△EFOの面積をSを用いて表しなさい。 よろしくお願いします。

  • 自作、次の条件のとき四角形は平行四辺形となりますか

    平行四辺形ABCDがあり、対角線の交点をOとします。このとき、次の性質があります。 [1]AB//CD [2]AD//BC [3]AB=CD [4]AD=BC [5]∠A=∠C [6]∠B=∠D [7]AO=CO [8]BO=DO [9]∠OAB=∠OCD [10]∠OAD=∠OCB [11]∠OBA=∠ODC [12]∠OBC=∠ODA ひまつぶしに、[1]から[12]まで条件からの2つを組み合わせたものは、四角形ABCDが平行四辺形であると同値かどうか考えてみました。 [1][4]、[1][9]、[1][11]、[2][3]、[2][10]、[2][12]、[3][5]、[3][6]、[3][7]、[3][8]、[3][10]、[3][12]、[4][5]、[4][6]、[4][7]、[4][8]、[4][9]、[4][11]、[5][7]、[6][8]、[10][12] は平行四辺形と同値でなく、それ以外は同値という結論になりました。しかし、自信がないので、以下の3つだけでいいので、確かめていただけないでしょうか。 言葉で説明するのは難しいと思いますが、よければ根拠のあるご回答をいただけると幸いです。 四角形ABCDで、[3]AB=CD、[5]∠A=∠Cのとき、四角形は平行四辺形とは限らない。 四角形ABCD(対角線の交点をO)で、[5]∠A=∠C、[7]AO=COのとき、四角形は平行四辺形とは限らない。 四角形ABCD(対角線の交点をO)で、[5]∠A=∠C、[8]BO=DOのとき、四角形は平行四辺形となる。

  • 中学数学 平行四辺形の問題です

    図が見にくいので、文字で入力をさせていただきます。 図で、四角形ABCDは平行四辺形、Eは、角ABCの二等分線と辺ADとの交点である。また、Fは辺CBの延長線上の点、Gは辺CD上の点で、△AFBと△EBGの面積は等しい。 AB=8cm、FB=5cm、BC=10cmのとき、次の(1)と(2)に答えなさい。 (1)線分EDの長さは何センチか答えなさい。 (2)△EGDの面積は、平行四辺形ABCDの面積の何倍か、求めなさい。 以上です。 急ぎなのですが、大変恐縮ですが、お分かりになる方がいらっしゃいましたら よろしくお願いいたします。

  • 平行四辺形の面積について

    平行四辺形ABCDにおいて、AB=7、BC=10、BD=13であるとき、この平行四辺形ABCDの面積を求めなさい。  三角形の面積を求めればいいとは判るのですが、そこからが…  どうぞよろしくお願い致します。

  • 中学の一次関数と平行四辺形の問題です

    こちらの問題が見にくいため、問題を記載します。 大変見にくくて申し訳ありません。 一次関数と平行四辺形の問題です。 図で、Oは原点、四角形ABCDは平行四辺形で、Eは辺ABとX軸との交点である。 3点A,D,Eの座標がそれぞれ(-2、8)、(8、10)、(-6、0)で、平行四辺形ABCDの面積が108平方センチメートルのとき、次の問に答えなさい。 (1)直線ABの式をもとめなさい。 (2)点Bの座標を求めなさい。 以上です。 急ぎなのですが、もしおわかりになる方がいらっしゃいましたらよろしくお願いします。

  • 平行四辺形であるための条件

    平行四辺形であるための条件を勉強しています。 その条件の一つで、教科書にはかかれてない条件で平行四辺形を証明したいと思います。 「四角形ABCDで、対角線の交点をOとするとき、AO=CO、∠B=∠Dならば四角形ABCDは平行四辺形であることを証明せよ。」 これを証明したいのですが、うまくできません。証明の解説をお願いします。

専門家に質問してみよう