比という概念がよくわからない

質問

面積１に等しい△ＡＢＣにおいて、辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢを２：１に内分する点をそれぞれＬ、Ｍ、Ｎとし、線分ＡＬとＢＭ、ＢＭとＣＮ、ＣＮ
とＡＬの交点をそれぞれＰ，Ｑ、Ｒとするとき
(1)ＡＰ：ＰＲ：ＲＬ＝□：□：１である。

解説
△ＡＢＬとＣＮについて、メネラウスの定理によりＡＮ／ＮＢ
・ＢＣ／ＣＬ・ＬＲ／ＲＡ＝１
すなわち２／１・３／１・ＬＲ／ＲＡ＝１
よってＬＲ：ＲＡ＝１：６・・・・・(1)
また、△ＡＣＬとＢＭについてメネラウスの定理により
ＡＭ／ＭＣ・ＣＢ／ＢＬ・ＬＰ／ＰＡ＝１　すなわち
１／２・３／２・ＬＰ／ＰＡ＝１
よって　ＬＰ：ＰＡ＝４：３
(1)、(2)から　ＡＰ：ＰＲ：ＲＬ＝３：３：１

疑問点
ＬＲとＲＡの比、ＬＰとＰＡの比をそれぞれ求めているところまでは理解できるんですが、その２つの比をＡＰ：ＰＲ：ＲＬの比に適用している部分が理解できません。
つまり、比と比べる相手によって変化しますよね。だから、ある線分の１組の比
（ＬＰ：ＰＡ、ＬＲ：ＲＡ）の異なる組を引いて（ＡＲ－ＡＰ＋ＲＬ）
比を求めることができるのはなぜですか？？

回答No.1

debut · ベストアンサー

この場合は、同じ線分ＡＬを内分して
ＬＲ：ＲＡ＝１：６
ＬＰ：ＰＡ＝４：３　と、どちらも比の合計が７で同じです。
つまり、これらの比は、全体ＡＬの７に対してそれぞれの線分が
どれだけの割合であるかを示しているのと同じことです。

別の言い方をすれば、(1)ではＬＲ＝(１/７)ＡＬ、ＲＡ＝(６/７)ＡＬ
ということであり、(2)ではＰＡ＝(３/７)ＡＬということなので
ＰＲ＝ＲＡ－ＰＡ＝(６/７)ＡＬ－(３/７)ＡＬ＝(３/７)ＡＬと
できる、つまり、分子にある比の６－３だけでも計算できるという
ことだと思います。

お礼

なるほど、実にすばらしいです。

回答No.2

spring135

難しく考えることはありません。直線上にＡ，Ｐ，Ｒ，Ｌをとると
(1）よりＲＬ＝aとするとＡＲ＝6a
(2)よりＡＰ＝bとするとＬＰ＝4b/3
AR+RL=AP+PLより
b=3aよってＡＰ＝3a,PL=4a
よってＰＲ＝3a
比を取れば
ＡＰ：ＰＲ：ＲＬ＝３：３：１