平面上の点Pについての問題
- 平面上に△ABCと点Pがあり、条件式l(→PA)＋m(→PB)＋n(→PC)=(→0)が成り立つ問題です。
- 問題の目的は、面積比△PBC:△PCA:△PABを求めることです。
- 条件式を利用して、点Pを通る線分BCをn:mに内分する点Dを求めることで、比を求めることができます。
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比
平面上に△ABCと点Pがあって、l(→PA)＋m(→PB)＋n(→PC)=(→0) (l,m,nは正の定数）が成り立っている 面積比△PBC:△PCA:△PABを求める問題です。 -(→PA)=m(→PB)＋n(→PC) (→PA)=m(→PB)＋n(→PC) =(m＋n)*(m(PB)＋n（PC))/m＋n) ここで、(m(PB)＋n（PC))/m＋n)=PDとすると PDとなる点Dをとれば、Dは線分BCをn:mに内分する点。 l(PA)＝m＋n(PD) から、３点A,P,Dは同一直線上で 比にすると AP:PD=(m＋n):l ここまでしか分かりません。
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ここまでできていれば後一歩ですね！ △ＡＢＣと点Ｄ，Ｐについて、 ＞PDとなる点Dをとれば、Dは線分BCをn:mに内分する点 ＞３点A,P,Dは同一直線上で比にするとAP:PD=(m＋n):l がわかっているので、 △ＡＢＣを△ＡＢＰ、△ＡＣＰ、△ＰＢＣに分割した後、さらに△ＰＢＣを△ＰＢＤと△ＰＣＤに分けます。 Dは線分BCをn:mに内分する点なので △ＡＢＤ：△ＡＣＤ＝ｎ：ｍ より、 △ＡＢＤ＝ｎ／（ｎ＋ｍ）△ＡＢＣ △ＡＣＤ＝ｍ／（ｎ＋ｍ）△ＡＢＣ です。また、AP:PD=(m＋n):lなので、 △ＡＢＰ：△ＰＢＤ＝（ｍ＋ｎ）：ｌ △ＡＣＰ：△ＰＣＤ＝（ｍ＋ｎ）：ｌ より △ＡＢＰ＝（ｍ＋ｎ）／（ｌ＋ｍ＋ｎ）△ＡＢＤ＝ｎ／（ｌ＋ｍ＋ｎ）△ＡＢＣ △ＰＢＤ＝ｌ／（ｌ＋ｍ＋ｎ）△ＡＢＤ＝ｌｎ／（ｌ＋ｍ＋ｎ）（ｎ＋ｍ）△ＡＢＣ △ＡＣＰ＝（ｍ＋ｎ）／（ｌ＋ｍ＋ｎ）△ＡＣＤ＝ｍ／（ｌ＋ｍ＋ｎ）△ＡＢＣ △ＰＣＤ＝ｌ／（ｌ＋ｍ＋ｎ）△ＡＣＤ＝ｌｍ／（ｌ＋ｍ＋ｎ）（ｎ＋ｍ）△ＡＢＣ ∴△ＰＢＣ＝△ＰＢＤ＋△ＰＣＤ＝ｌ／（ｌ＋ｍ＋ｎ）△ＡＢＣ です。
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お礼
丁寧な説明ありがとうございました。 とても理解ができました。 ありがとうございます。