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ベクトルの問題なのですが・・
三角形ABCの内部に点Pを2PA+PB+2PC=0を満たすようにとる。直線APと辺BCの交点を Dとし、三角形PAB、三角形PBC、三角形PCAの重心をそれぞれ、E,F,Gとする。 (1)EF=KAC(Kは定数)であることを示せ。 (2)三角形EFGと三角形PDCの面積比を求めよ。 PDまでは求められたのですが、(1)はどう示せばいいのかがいまいち 分かりません・・・。 詳しく教えてください! ベクトルは省略させて下さい。
- shinylight
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>三角形ABCの内部に点Pを2PA+PB+2PC=0を満たすようにとる。直線APと辺BCの交点を > Dとし、三角形PAB、三角形PBC、三角形PCAの重心をそれぞれ、E,F,Gとする。 2PA+PB+2PC=0より、 -2AP+(AB-AP)+2(AC-AP)=0 5AP=AB+2AC より、AP=(1/5)AB+(2/5)AC BD:DC=t:1-t とすると、 AD=(1-t)AB+tAC ……(1) A,P,Dは一直線上にあるから、AD=kAP とおける。 AD=(1/5)kAB+(2/5)kAC ……(2) (1)(2)より係数を比較すると、 1-t=(1/5)k, t=(2/5)k を連立で解くと、 k=5/3, t=2/3 よって、 AD=(5/3)APより、AD:AP=5:3 ……(3) BD:DC=2/3:1/3=2:1 ……(4) (これをもとにして、図を描いてください。) > (1)EF=KAC(Kは定数)であることを示せ。 AB,BC,ACの中点をL,M,Nとする。 AL=(1/2)AB,AN=(1/2)AC,AM=(1/2)AB+(1/2)AC ……(5) △PABの重心Eは、中線PLをPE:EL=2:1に分ける点だから、 (5)より、 AE=(1/3)AP+(2/3)AL =(1/3)AP+(2/3)・(1/2)AB =(1/3)AP+(1/3)AB ……(6) △PBCの重心Fは、中線PMをPF:FM=2:1に分ける点だから、 (5)より、 AF=(1/3)AP+(2/3)AM =(1/3)AP+(2/3){(1/2)AB+(1/2)AC} =(1/3)AP+(1/3)AB+(1/3)AC ……(7) (6)(7)より、 EF=AF-AE={(1/3)AP+(1/3)AB+(1/3)AC}-{(1/3)AP+(1/3)AB} =(1/3)AC よって、EF=(1/3)AC ……(ア) だから、k=1/3とみれば、EF=kAC >(2)三角形EFGと三角形PDCの面積比を求めよ。 △PDCの面積について、(3)(4)と図から、、 △ABCと△ADCで、頂点をAと見ると面積比=底辺の比 だから、 △ABC:△ADC=BC:DC=3:1 より、△ADC=(1/3)△ABC △ADCと△PDCで、頂点をCと見ると、同様に △ADC:△PDC=AD:PD=5:2 より、 △PDC=(2/5)△ADC=(2/5)・(1/3)△ABC=(2/15)△ABC ……(8) △PCAの重心Gは中線PNをPG:GN=2:1に分ける点だから、 (5)より、 AG=(1/3)AP+(2/3)AN =(1/3)AP+(2/3)・(1/2)AC =(1/3)AP+(1/3)AC ……(9) (6)(9)より、 EG=AG-AE={(1/3)AP+(1/3)AC}-{(1/3)AP+(1/3)AB} =(1/3)(AC-AB) =(1/3)BC ……(イ) (7)(9)より、 GF=AF-AG={(1/3)AP+(1/3)AB+(1/3)AC}-{(1/3)AP+(1/3)AC} =(1/3)AB ……(ウ) △EFGと△ABCとで、 (ア)(イ)(ウ)より、 EF/AC=EG/BC=GF/AB=1/3 より、 3辺の比が等しいから、△EFG∽△ABC よって、相似比=EF:AC=1:3だから 面積比△EFG:△ABC=1^2:3^2=1:9 より、 △EFG=(1/9)△ABC ……(10) よって、(8)(10)より、 △EFG:△PDC=(1/9)△ABC:(2/15)△ABC =1/9:2/15 =5:6 後半は相似条件から求めました。確認してみて下さい。
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- yyssaa
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>ベクトルPAを↑PAと書きます。 (1)EF=KAC(Kは定数)であることを示せ。 三角形の重心は、頂点と対辺の中点を結ぶ線分(中線)上の頂点から 中線の長さの2/3だけ離れた点。 ↑PE=↑PA+(1/2)↑AB-(1/2)↑PEから(3/2)↑PE=↑PA+(1/2)↑AB ↑AB=↑PB-↑PAだから (3/2)↑PE=↑PA+(1/2)(↑PB-↑PA)=(1/2)↑PA+(1/2)↑PB ↑PE=(↑PA+↑PB)/3 同様に↑PF=(↑PB+↑PC)/3、よって ↑EF=↑PF-↑PE=(↑PB+↑PC)/3-(↑PA+↑PB)/3=(↑PC-↑PA)/3 一方、↑AC=↑PC-↑PAだから↑EF=(1/3)↑ACとなる。(証明終わり)
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