内分について

質問

△ABCの内部の点をＰとしAPベクトル+2BPベクトル+3CPベクトル=ゼロベクトルが成り立つとする
また、2点A、Pを通る直線と辺BCとの交点をQとする
AP:PQ、BQ:QCを求めよ

APベクトル=1/3ABベクトル+1/2ACベクトルだから
AQベクトル=t(1/3ABベクトル+1/2ACベクトル)
係数の和が1だからt/3+t/2=1
t=6/5
よってAQベクトル=2/5ABベクトル+3/5ACベクトル)
APベクトル:AQベクトル=1:(t-1)=5:1

ここまではいいのですが
BQベクトル=AQベクトル-ABベクトル=-3/5ABベクトル+3/5ACベクトル
BCベクトル=sBQベクトルだから
BCベクトル=-3s/5ABベクトル+3s/5ACベクトル
係数の和が1だから-3s/5+3s/5=1 となって分かりません
教えてください

回答No.1

ferien · ベストアンサー

BQベクトル=AQベクトル-ABベクトル=-3/5ABベクトル+3/5ACベクトル
BCベクトル=sBQベクトルだから
BCベクトル=-3s/5ABベクトル+3s/5ACベクトル
＞係数の和が1だから-3s/5+3s/5=1 となって分かりません
これでは解けません。
BCベクトル=sBQベクトルだから
この関係から、ＡＱベクトルをｓを使って表します。
ＢＱ＝ｓＢＣとおいた方がいいです。（これでもＢ，Ｑ，Ｃが一直線上にあることを表します。）
ＡＱ－ＡＢ＝ｓ（ＡＣ－ＡＢ）
ＡＱ＝－ｓＡＢ＋ＡＢ＋ｓＡＣ
＝（１－ｓ）ＡＢ＋ｓＡＣ
これと、AQベクトル=2/5ABベクトル+3/5ACベクトル)で、係数比較して
ｓ＝３／５，１－ｓ＝２／５

です。

お礼

ありがとうございました
解けました

回答No.2

ferien

ANo.1です。少し追加です。
＞よってAQベクトル=2/5ABベクトル+3/5ACベクトル)
から、直接ＢＱ：ＱＣは求められます。

ＢＱ：ＱＣ＝ｓ：（１－ｓ）とおくと、
（１－ｓ）ＢＱ＝ｓＱＣとできるから、
（１－ｓ）（ＡＱ－ＡＢ）＝ｓ（ＡＣ－ＡＱ）
ＡＱ＝（１－ｓ）ＡＢ＋ｓＡＣと表せるから、
ｓ：（１－ｓ）＝（３／５）：（２／５）＝３：２です。

お礼

了解です