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ベクトルの問題

AD//BC、BC=2ADである四角形ABCDがある。点P,Qが ↑PA+2↑PB+3↑PC=↑QA+↑QC+↑QD=↑0 を満たすとき、 (1)ABとPQが平行であることを示せ。 (2)3点P,Q,Dが一直線上にあることを示せ。 (1) AD//BC,BC=2ADから ↑BC=2↑AD=2↑AD ↑AC-↑AB=2↑AD ↑AC=↑AB+2↑AD・・・(1) さらに↑PA+2↑PB+3↑PC=↑0から、 (↑AA-↑AP)+2(↑AB-↑AP)+3(↑AC-↑AP)=↑0 6↑AP=2↑AB+3↑AC (1)を代入すると 6↑AP=2↑AB+3(↑AB+2↑AD) =5↑AB+6↑AD ↑AP=(5/6)↑AB+↑AD・・・(2) また、↑QA+↑QC+↑QD=↑0から (↑AA-↑AQ)+(↑AC-↑AQ)+(↑AD-↑AQ)=↑0 3↑AQ=↑AC+↑AD (1)を代入すると、 3↑AQ=(↑AB+2↑AD)+↑AD    =↑AB+3↑AD ↑AQ=(1/3)↑AB+↑AD・・・(3) ここで、↑PQ=↑AQ-↑AP を 計算すると(2)、(3)より、 ↑PQ={(1/3)↑AB+↑AD}-{(5/6)↑AB+↑AD} =(-1/2)↑AB・・・(4) ∴ ↑PQ=(-1/2)↑AB よって、ABとPQが平行である。 (2)3点P,Q,Dが一直線上にあることを示せ。 ↑PD=↑AD-↑AP (2)を代入して、 ↑PD=↑AD-{(5/6)↑AB+↑AD}   =(-5/6) ↑AB   =(5/3)↑PQ よって、3点P,Q,Dは一直線上にある こうやると教えてもらったんですけど、合っていますか? こういうタイプの問題はとりあえず基準点を定めて位置ベクトルに直せばいいんですか? それとも他にいいやり方があるんですかね?(x_x;)

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こんばんわ。 >こういうタイプの問題はとりあえず基準点を定めて位置ベクトルに直せばいいんですか? >それとも他にいいやり方があるんですかね?(x_x;) そうですね。 位置ベクトルの原点を決めて、平面であれば 1次独立な 2つのベクトルを決めます。 通常は、位置ベクトルの原点を起点とするベクトルをとります。 (空間であれば、3つのベクトルを決めないといけません。) いまの問題であれば、点Aを位置ベクトルの原点として、↑ABと↑ADを 2つのベクトルとしていますね。 そして、あとは与えられた点を↑A○の形に「ことごとく」変形していきます。 ひとつ、ベクトルの計算を進めていく上でのコツを。 >さらに↑PA+2↑PB+3↑PC=↑0から、 >(↑AA-↑AP)+2(↑AB-↑AP)+3(↑AC-↑AP)=↑0 慣れていれば、いきなり「引き算」で書き出しても構いませんが、 ↑PB=↑PA+ ↑AB、↑PC=↑PA+↑ACなどというように、 「はさみ込む」ことで足し算にしてから変形すると、間違いが少なくなります。 あとは、↑PA= -↑AP(向きが逆になるとマイナスがつく)としていきます。 解答はこれでいいと思いますよ。^^

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  • 回答No.3
  • htms42
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#2です。 #2でおもりを使って考えるというのをやっています。でもやはり余りなじまない方法でしょう。 ベクトルでやってみます。 AC,BCの中点をM,Nとします。 DMNは同一直線上にあってABに平行です。 P,QはDMN上にあるという事を示せば(1)(2)の両方に答えた事になります。 ・Qについて QA+QC=2QM 2QM+QD=0 M、Q、Dは同一直線上にあります。 (MQ:QD=1:2) ・Pについて AB上に点Rを取ります。 PA+2PB=3PR 3PR+3PC=0 PR+PC=0 R,P,Cは同一直線上にあります。 点PはRCの中点です。 RCとMNの交点でRCは2等分されますから点PはMN上にあります。 ※P,Qは重心であるという事は使っていません。 でも重心であるというイメージがあってこういう解き方が出てきています。 結果を図で確かめるというのもこのイメージがあるとしやすいです。 でも思いつきのきっかけになった内容が解答に出てくるとは限らないのです。 #2の最初に書いた「Qは△ACDの重心である」という事が出発点になっています。

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  • 回答No.2
  • htms42
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少し違う方法でやってみます。 △ACDの重心をGとします。基準点をOとします。 OG=(OA+OC+OD)/3(ベクトルの記号の↑を省略しています。) この式でOG=0とすると GA+GC+GD=0 重心をベクトルの基準点とした時の表現です。 点Qは△ACDの重心です。 普通はこの式で表される重心は△ACDの図形の重心ですね。 でも3つの頂点A,C,Dに質量の等しい物体を置いたとした時の重心にもなっています。 (この意味の重心の方がより基本的なものだろうと思います。棒の片方の端におもり2つ、他方におもり1つをぶら下げた時にどこで支えれば釣り合うか? ・・・ 1:2に分けるところです。物理ではこちらの方が先に出てきます。) AC,BCの中点をM、Nとします。DMNはABに平行な直線です。 (BC=2ADはここに効いてきます。) QはDM上にあります。(DM:MN=2:1)・・・(1) PはMN上にあります。(MP:PN=2:1)・・・(2) (1)A,C,Dに質量の等しいおもりが1つずつあるとします。 この重心QはDのおもりが1つ、Mにおもりが2つあるとした時の重心と同じです。 DQ:QM=2:1 (2)A,B,Cの各点におもりが1つ、2つ、3つある場合の重心がPです。 Cにあるおもりを1+2で考えます。 Aにあるおもり1つとCにあるおもり1つを合わせたおもり2つをMに置きます。 Bにあるおもり2つとCにある残りのおもり2つを合わせたものをNに置きます。 Pはこの重心と同じです。 MP:ON=2:1 (AとBの重心をRとします。AR:RB=2:1 です。 Aに1つ、Bに2つおもりがあるということはRにおもりが3つあるということと同じ働きです。 Rにおもりが3つ、Cにおもりが3つある場合の重心はRCの中点です。この中点はMN上にあります。) 数学の問題としてはベクトルとしての扱いだけで解くのかもしれませんが私はあまり好きではありません。 図形の重心を求める問題がよく物理で出てきます。 三角形の重心は三角形だけで出てくるのではありません。 長方形を考えます。重心は対角線の交点にあります。 縦、横、2つの辺を2等分する線を引くと1/4の面積の長方形が4つできます。 ここから1つ切り取ったL字型の図形の重心はどこにあるでしょう。 (A)(D) (B)(C) から(D)を切り取る。 (A) (B)(C) (a)(A)、(B)、(C)のそれぞれを重心Ga,Gb、Gcで代表させるとGa,Gb、Gcに同じ質量のおもりのある三角形になります。三角形の重心の式で求められます。 (b)(B)(C)を合わせたもので考えるとGb,Gcの中点におもりが2つある場合になります。 どちらで求めても同じです。 切り抜いた(D)を(A)、(B)、(C)のどこかに張り付けた場合はどうでしょう。 重心は物理的な概念です。 元々の定義は質量が分布している場合についてです。 OG=(Ma・OA+Mb・OB+Mc・OC+・・・)/(Ma+Mb+Mc+・・・)

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