至急教えてください＞＜

質問

△ＡＢＣにおいて、
ＡＢ＝４、ＢＣ＝２√１０、ＣＡ＝６
とする。２頂点Ｂ、Ｃから対辺に
下ろした垂線と対辺との交点を
それぞれＤ、Ｅとし、線分ＢＤと線分ＣＥ
の交点をＨとする。

(１)ｃｏｓＡ＝□、ＡＤ＝□
(２)ＥＤ＝□、ＡＨ＝□
(３)ＤＨ＝□、ＥＨ＝□であるから
△ＨＤＥの面積は□

参考書とか見たのですが解けなくて
解けるかたお願いします;;

回答No.2

Mr_Holland

(1)　余弦定理の問題です。
　余弦定理から、
　　cosA=(AB^2+AC^2-BC^2)/(2AB・AC)=1/4
　　AD=ABcosA=4×(1/4)=1

　ここで、後の計算で使うので、sinA,tanA,AE を求めておきます。
　　sinA=√{1-(cosA)^2}=√15/4　　（∵　0<∠A<180° でsinA>0　）
　　tanA=sinA/cosA=√15

　　AE=ACcosA=6×(1/4)=3/2

(2)　ここは余弦定理、正弦定理、外接円を使います。
　余弦定理から、
　　ED^2=AE^2+AD^2-2AE・AEcosA=5/2
　　∴　ED=√10/2

　∠AEH=∠ADH=90°　直角三角形ADHとAEHはAHを直径とする同じ円に内接します。
　正弦定理から、
　　AH=ED/sinA=(2/3)√6

(3)　(2)から四角形ADHDは円に内接していますので、　∠A+∠EHD=180°　です。
　また∠EHB、∠DHCは∠EHDの補角（足して180°になる角）ですので、
　　∠EHB=∠EHC=∠A

　∴DH=BE/tanA=√15/3
　　EH=CD/tanA=(3/10)√15

　三角形の面積の公式から、
　　△HDE=(1/2)DH・EHsin∠DHE=(1/2)DH・EHsinA=(3/16)√15
　　　（∵　sin∠DHE=sin(180°-A)=sinA　）

回答No.1

Kules

ん～(1)はオーソドックスな感じですが、(3)より先にAHを求める方法はわかりませんでした。
何か別ルートがあるんだろうなあ…
とりあえず「解ける」解き方を書いときます。

余弦定理でcosAを求めたら、△ABDが直角三角形であることを利用してADを求める。
同じ様にAEを求めたら再び余弦定理でEDを求める。（三角形の相似を用いてもEDは求まります）

メネラウスの定理を用いるとBH:DHが求まり、またBHの長さは△ABDが直角三角形であることを使えば求まります。
そこからDHの長さを出すと、△ADHが直角三角形であることからAHが求まります。
DHを求めたのと同じ方法でEHを求めることができます。

△HDEも全然違うところから誘導してそうな気配がありますが、
AD:DC、AE:EB、BH:HDが求まっているので△ABCの面積を求めれば面積比から求めることができます。

問題の誘導の仕方とは明らかに違う解き方ですが。

最後に。
本当に参考書を見たのなら最低でもcosAは求めて、それがわかるようにしておかないと
この質問はただの問題丸投げになってしまいますよ。
（今は通報対象ではないんですけどね…）

最後ちょっと小言みたいになってしまいましたが、参考になれば幸いです。

お礼

ありがとうございます!!
これをヒントに頑張ってみます