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図形の問題です

a=5,b=6,c=7である三角形ABCについて、2つの頂点A,Bから対辺に下ろした垂線と対辺の交点をそれぞれD,Eとし、線分ADとBEの交点をHとするとき、CDとCEの長さを求めよ。さらにこれを利用して、DEとCHの長さを求めよ。 よろしくお願いします。

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  • spring135
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回答No.2

Hは垂心であるのでCHとABは垂直であって交点をFとする。 ⊿ACDと⊿BCEはともに直角三角形であり、∠Cを共有するので相似であり、∠CAD=∠CBD、この値をαとする。 ∠CAD=∠CBE=γ 同様な理由により ∠ABE=∠ACF=α ∠BCF=∠BAD=β 題意より AB=7=6sinα+5sinβ BC=5=7sinβ+6sinγ CA=6=5sinγ+7sinα これらを解いて sinα=5/7 sinβ=19/35 sinγ=1/5 CD=ACsinγ=6*1/5=6/5, CE=BCsinγ=5*1/5=1 ED,DF,FEを結ぶと四角形HEAF,四角形HFBD,四角形HDCEは向かい合う角が直角であることから円に内接する。 したがって円周角の定理により ∠EDH=∠FDH=α ∠DEH=∠FEH=β ∠DFH=∠EFH=γ すなわちAD,EB,FCは⊿EDFの角度を2分割し、Hは⊿EDFの内心になっている。 以上よりα+β+γ=π/2 ⊿HFBにおいて∠BEF=π/2-α=β+γ=∠CHE 同様に ∠FHA=∠CHD=π/2-β=α+γ ∠EHA=∠BHD=π/2-γ=α+β ⊿AEDに正弦定理を用いると ED/sinγ=AE/sinα ED=7sinα/sinα*sinγ=7sinγ=7/5 ⊿CHDは直角三角形なので CHcosβ=CD=6sinγ=6/5 sinβ=19/35よりcosβ=12√6/35 CH=CD/cosβ=(6/5)*(35/12√6)=7√6/12

sorano_yukito
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  • info222_
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回答No.3

ヘロンの公式より△ABCの面積Sを求めると 2s=a+b+c=5+6+7=18, s=9 S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}=√(9*4*3*2)=6(√6) S=BC*AD/2=(5/2)AD より AD=(2/5)6(√6)=(12/5)√6 S=AC*BE/2=(6/2)BE=3BE より BE=(1/3)6(√6)=2√6 3平方の定理より  CD^2=AC^2-AD^2=36-(12/5)^2*6=36-12^2*6/25=36/25 ∴CD=6/5 CE^2=BC^2-BE^2=25-24=1 ∴CE=1 BD=BC-CD=5-(6/5)=19/5 AE=AC-CE=6-1=5 ⊿BDH∽⊿BECより BH/BD=BC/BE=5/(2√6) ∴BH=(5/(2√6))(19/5)=19(√6)/12 ⊿AEH∽⊿ADCより AH/AE=AC/AD=6/((12/5)√6) ∴AH=5/(2√6)*5=25(√6)/12 トレミーの定理を 内接四角形ABDEに適用(∵円周角∠ADB=∠AEB=90°) AB*DE+AE*BD=AD*BE 7DE+5*(19/5)=((12/5)√6)*(2√6) 7DE=144/5-19=49/5 ∴DE=7/5 内接四角形DCEHに適用(∵円周角∠CDH=∠CEH=90°) CD*EH+CE*DH=CH*DE (6/5)(BE-BH)+1*(AD-AH)=CH*(7/5) (6/5)(2√6-19(√6)/12)+(12/5)(√6)-25(√6)/12=(7/5)CH ∴CH=7(√6)/12

sorano_yukito
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  • info222_
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回答No.1

図は描けますか? 問題の図があるか、描けるなら、画像にして補足に添付してください。 図をもとにして考えると分かりやすいと思いますよ。

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