図形の問題です

質問

a=5,b=6,c=7である三角形ABCについて、２つの頂点A,Bから対辺に下ろした垂線と対辺の交点をそれぞれD,Eとし、線分ADとBEの交点をHとするとき、CDとCEの長さを求めよ。さらにこれを利用して、DEとCHの長さを求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

Hは垂心であるのでCHとABは垂直であって交点をFとする。

⊿ACDと⊿BCEはともに直角三角形であり、∠Cを共有するので相似であり、∠CAD=∠CBD、この値をαとする。

∠CAD=∠CBE＝γ

同様な理由により

∠ABE=∠ACF=α

∠BCF=∠BAD=β

題意より

AB=7＝6sinα+5sinβ

BC=5=7sinβ+6sinγ

CA=6=5sinγ+7sinα

これらを解いて

sinα=5/7

sinβ=19/35

sinγ=1/5

CD=ACsinγ=6*1/5=6/5, CE=BCsinγ=5*1/5=1

ED,DF,FEを結ぶと四角形HEAF,四角形HFBD,四角形HDCEは向かい合う角が直角であることから円に内接する。

したがって円周角の定理により

∠EDH=∠FDH=α

∠DEH=∠FEH=β

∠DFH=∠EFH=γ

すなわちAD,EB,FCは⊿EDFの角度を２分割し、Hは⊿EDFの内心になっている。

以上よりα+β+γ＝π/2

⊿HFBにおいて∠BEF=π/2-α＝β+γ＝∠CHE

同様に

∠FHA=∠CHD=π/2-β＝α+γ

∠EHA=∠BHD=π/2-γ＝α+β

⊿AEDに正弦定理を用いると

ED/sinγ=AE/sinα

ED=7sinα/sinα*sinγ=7sinγ=7/5

⊿CHDは直角三角形なので

CHcosβ=CD=6sinγ=6/5

sinβ=19/35よりcosβ=12√6/35

CH=CD/cosβ=(6/5)*(35/12√6)=7√6/12

お礼

回答ありがとうございました！

回答No.3

info222_

ヘロンの公式より△ABCの面積Sを求めると
2s=a+b+c=5+6+7=18, s=9
S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}=√(9*4*3*2)=6(√6)
S=BC*AD/2=(5/2)AD より　AD=(2/5)6(√6)=(12/5)√6
S=AC*BE/2=(6/2)BE=3BE より　BE=(1/3)6(√6)=2√6

３平方の定理より　
CD^2=AC^2-AD^2=36-(12/5)^2*6=36-12^2*6/25=36/25 ∴CD=6/5
CE^2=BC^2-BE^2=25-24=1 ∴CE=1

BD=BC-CD=5-(6/5)=19/5
AE=AC-CE=6-1=5

⊿BDH∽⊿BECより　BH/BD=BC/BE=5/(2√6)　∴BH=(5/(2√6))(19/5)=19(√6)/12
⊿AEH∽⊿ADCより　AH/AE=AC/AD=6/((12/5)√6) ∴AH=5/(2√6)*5=25(√6)/12

トレミーの定理を
内接四角形ABDEに適用(∵円周角∠ADB=∠AEB=90°)
AB*DE+AE*BD=AD*BE
7DE+5*(19/5)=((12/5)√6)*(2√6)
7DE=144/5-19=49/5　∴DE=7/5

内接四角形DCEHに適用(∵円周角∠CDH=∠CEH=90°)
CD*EH+CE*DH=CH*DE
(6/5)(BE-BH)+1*(AD-AH)=CH*(7/5)
(6/5)(2√6-19(√6)/12)+(12/5)(√6)-25(√6)/12=(7/5)CH
∴CH=7(√6)/12

お礼

回答ありがとうございました！

回答No.1

info222_

図は描けますか？
問題の図があるか、描けるなら、画像にして補足に添付してください。
図をもとにして考えると分かりやすいと思いますよ。