ベクトルの問題

質問

ベクトルの問題が解けなくて困っています。

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鋭角三角形ABCの外心をO
頂点Aから対辺BCに下ろした垂線と、頂点Bから対辺ACに下ろした垂線の交点をHとおく。
このとき、次の問いに答えよ。
(以降、文字はベクトルを表しています)

a=OA b=OB c=OC とおく。 OHをa,b,cを用いてあらわせ。
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「OH=a+b+cと置くとき、点Hが垂心であることを示せ。」
なる問題は解いたことがあるのですが、
逆から聞かれて、攻めあぐねています。

よろしくお願いします。

回答No.3

zarbon · ベストアンサー

No.2です。下の回答で間違えました。
前の回答では、重心がOH上にあることが示せていません。
改めて、O,G,Hが同一直線上にあって、OG:GH=1:2であることを示します。
OからBCへ下ろした垂線の足をL,
BOの延長線が△ABCの外接円と交わる点をDとする。
BDは外接円の直径で∠BAD=∠BCD=90°だから、DA⊥AB, DC⊥BC
また、CH⊥AB, AH⊥BCであることより、DA//CH, AH//DC.
よって四角形AHCDは平行四辺形であり、AH=DC…(1).
一方、△BDCにおいてOはBDの中点であり、OL//DCであるから、DC=2OL.
よって(1)よりAH=2OL.
ここで、OHとALの交点をPとすると、OL//AHから△AHP∽△LOP.
上述よりAH=2OLだから、相似比は2:1.
よってAP:PL=2:1となり、Pは重心となる。

以上から、外心・重心・垂心が一直線上にあってその距離の比が
1:2であることが示せました。
∴OH→=3OG→.
　OG→=1/3(a+b+c)より、OH→=a+b+cとなります。

お礼

よくわかりました。
どうもありがとうございます！

回答No.2

zarbon

正攻法ではないかもしれませんが。

重心をG, OからBCへ下ろした垂線の足をLとすると、
OLはBCの垂直2等分線になっているから、LはBC中点。
よってALは中線だからGを通る。
OL//AH, AG:GL=2:1から△AHG∽△LOGで相似比2:1なので、
OG:GH=1:2.

∴OH→=3OG→.
OG→=1/3(a+b+c)より、OH→=a+b+c
でどうでしょうか。

ちなみに、「OG:GH=1:2」は外心・重心・垂心が一直線上にあって、その比が1:2であることを示しています。

回答No.1

yuu111

こんばんは

大雑把に手順を
ＨはＢＣをt:1-tに内分する点とする
これで、ベクトルＡＨをあらわす
あとはtを使ってＨがらみのベクトルをあらわしていけば何か見えてくると思います
ちなみに、かなり面倒になるので、もっとよい解きかたはありそうです＾＾；

お礼

HはBCとまじわっていませんよね…？