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数学B ベクトルがどうしても分かりません

内積と空間図形の問題が面積のところまでしか分かりません!! どなたか解説をお願いします!! 問い) 四面体OABCにおいて、OA=3、OB=4、OC=5、∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°である。 三角形OBCの面積は(あ)√(い)、である。 OAベクトル=aベクトル、OBベクトル=bベクトル、OCベクトル=cベクトルとおく。 頂点Aから三角形OBCを含む平面に垂線AHを引く。 AHベクトル⊥bベクトル、AHベクトル⊥cベクトルであるから、 OHベクトル=(え分のう)bベクトル+(か分のお)cベクトルと表される。 よって、AHベクトルの大きさ=√(き)であるから、四面体OABCの体積は(く)√(け)である。

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  • 回答No.2
  • info22_
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ベクトルをOH↑のように後に「↑」をつけて表すことにします。 △OBC面積=(1/2)OB*OC*sin60°=(1/2)4*5*(√3/2)=5√3 OH↑=mb↑+nc↑とおくと AH↑=OH↑-a↑ AH↑⊥b↑より AH↑・b↑=(OH↑-a↑)・b↑=(mb↑+nc↑-a↑)・b↑  =m(b↑・b↑)+n(c↑・b↑)-(a↑・b↑) =m(4*4)+n(5*4)(1/2)-3*4(1/2) =16m+10n-6=2(8m+5n-3) =0(∵AH↑⊥b↑)  ∴8m+5n=3 …(1) 同様にAH↑⊥c↑より AH↑・c↑=(OH↑-a↑)・c↑=(mb↑+nc↑-a↑)・c↑  =m(b↑・c↑)+n(c↑・c↑)-(a↑・c↑) =m(4*5)(1/2)+n(5*5)-3*5(1/2) =10m+25n-(15/2) =(5/2)(4m+10n-3) =0(∵AH↑⊥c↑)  ∴4m+10n=3 …(2) (1),(2)を連立方程式として解くと  m=1/4,n=1/5  ∴OH↑=mb↑+nc↑=(1/4)b↑+(1/5)c↑ ∴OH=√(OH↑・OH↑) =√{(4/4)^2+(5/5)^2+2(1/4)(1/5)(4*5)(1/2)} =√3 ∴AH=√(OA^2-OH^2)=√(3^2-3)=√6 四面体OABCの体積=(1/3)AH*△OBC面積 =(1/3)√6*5√3 =5√2

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  • 回答No.1
  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)

ベクトルAHとベクトルOBが垂直であることから AH・OB=(OH+AO)・OB     =OH・OB+AO・OB     =OH・OB-OA・OB     =OH・OB-6     =0 よってOH・OB=6 ・・・(1) ベクトルAHとベクトルOCが垂直であることから上記と同様に AH・OC=OH・OC-15/2      =0 よってOH・OC=15/2 ・・・(2) ここでOH=mOB+nOCとおいて(1)に代入すると OH・OB=mOB・OB+nOB・OC      =16m+10n      =6 同様に(2)に代入すると OH・OC=10m+25n      =15/2 これでmとnの連立方程式になります。mとnが判れば△OAHについて三平方の定理を使うとAHの長さが判ります。

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