数学Ｂ ベクトルがどうしても分かりません

質問

内積と空間図形の問題が面積のところまでしか分かりません！！
どなたか解説をお願いします！！

問い）
四面体ＯＡＢＣにおいて、ＯＡ＝３、ＯＢ＝４、ＯＣ＝５、∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ＝６０°である。
三角形ＯＢＣの面積は（あ）√（い）、である。

ＯＡベクトル＝aベクトル、ＯＢベクトル＝bベクトル、ＯＣベクトル＝cベクトルとおく。

頂点Ａから三角形ＯＢＣを含む平面に垂線ＡＨを引く。

ＡＨベクトル⊥bベクトル、ＡＨベクトル⊥cベクトルであるから、

ＯＨベクトル＝（え分のう）bベクトル＋（か分のお）cベクトルと表される。

よって、AHベクトルの大きさ＝√（き）であるから、四面体OABCの体積は（く）√（け）である。

回答No.2

info22_

ベクトルをOH↑のように後に「↑」をつけて表すことにします。

△OBC面積=(1/2)OB*OC*sin60°=(1/2)4*5*(√3/2)=5√3

OH↑=mb↑+nc↑とおくと
AH↑=OH↑-a↑

AH↑⊥b↑より
AH↑・b↑=(OH↑-a↑)・b↑=(mb↑+nc↑-a↑)・b↑
　=m(b↑・b↑)+n(c↑・b↑)-(a↑・b↑)
=m(4*4)+n(5*4)(1/2)-3*4(1/2)
=16m+10n-6=2(8m+5n-3)
=0（∵AH↑⊥b↑）
　∴8m+5n=3 …(1)

同様にAH↑⊥c↑より
AH↑・c↑=(OH↑-a↑)・c↑=(mb↑+nc↑-a↑)・c↑
　=m(b↑・c↑)+n(c↑・c↑)-(a↑・c↑)
=m(4*5)(1/2)+n(5*5)-3*5(1/2)
=10m+25n-(15/2)
=(5/2)(4m+10n-3)
=0(∵AH↑⊥c↑)
　∴4m+10n=3 …(2)

(1),(2)を連立方程式として解くと
　m=1/4,n=1/5
　∴OH↑=mb↑+nc↑=(1/4)b↑+(1/5)c↑
∴OH=√(OH↑・OH↑)
=√{(4/4)^2+(5/5)^2+2(1/4)(1/5)(4*5)(1/2)}
=√3

∴AH=√(OA^2-OH^2)=√(3^2-3)=√6

四面体OABCの体積=(1/3)AH*△OBC面積
=(1/3)√6*5√3
=5√2

回答No.1

gohtraw

ベクトルＡＨとベクトルＯＢが垂直であることから
ＡＨ・ＯＢ＝（ＯＨ＋ＡＯ）・ＯＢ
　　　　＝ＯＨ・ＯＢ＋ＡＯ・ＯＢ
　　　　＝ＯＨ・ＯＢ－ＯＡ・ＯＢ
　　　　＝ＯＨ・ＯＢ－６
　　　　＝０
よってＯＨ・ＯＢ＝６　・・・（１）

ベクトルＡＨとベクトルＯＣが垂直であることから上記と同様に
ＡＨ・ＯＣ＝ＯＨ・ＯＣ－１５／２
　　　　　＝０
よってＯＨ・ＯＣ＝１５／２　・・・（２）

ここでＯＨ＝ｍＯＢ＋ｎＯＣとおいて（１）に代入すると
ＯＨ・ＯＢ＝ｍＯＢ・ＯＢ＋ｎＯＢ・ＯＣ
　　　　　＝１６ｍ＋１０ｎ
　　　　　＝６

同様に（２）に代入すると
ＯＨ・ＯＣ＝１０ｍ＋２５ｎ
　　　　　＝１５／２

これでｍとｎの連立方程式になります。ｍとｎが判れば△ＯＡＨについて三平方の定理を使うとＡＨの長さが判ります。